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Illustration: ein Kind auf einer Wiese hebt den Arm. Über ihm fliegt ein Ball, eine gepunktete Linie zeigt seine bogenförmige Flugbahn.

Mathematik · Niedersachsen · Sek I

Quadratische Funktionen

Eine Unterrichtsreihe zu quadratischen Funktionen und Gleichungen für Klasse 9 nach dem niedersächsischen Kerncurriculum. Sie führt von der Normalparabel über Streckung und Verschiebung zur Scheitelpunktform, verbindet allgemeine, faktorisierte und Scheitelpunktform, löst quadratische Gleichungen bis zur pq-Formel und endet mit Optimierungsaufgaben, Wurfparabeln und den typischen Fehlern. Interaktive Graphen mit Schiebereglern zeigen die Wirkung jedes Parameters.

Klassen
9
Schulformen
Gymnasium, Oberschule
Umfang
14 Unterrichtsstunden
Fach
Mathematik
Bundesland
Niedersachsen
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Lernziele

  • Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Normalparabel und die Wirkung des Faktors a auf Öffnung und Form.
  • Sie lesen den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ab und skizzieren Parabeln ohne Wertetabelle.
  • Sie wechseln zwischen allgemeiner Form, Scheitelpunktform und faktorisierter Form, auch mit quadratischer Ergänzung.
  • Sie bestimmen Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt und erklären den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitel.
  • Sie lösen quadratische Gleichungen verschiedener Typen und mit der pq-Formel und begründen die Anzahl der Lösungen.
  • Sie lösen Optimierungsprobleme und Wurfaufgaben mit quadratischen Funktionen und beurteilen die Grenzen des Modells.

Bezug zum Kerncurriculum

Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge 5–10 Mathematik (Niedersachsen 2015), Lernbereich „Quadratische Zusammenhänge“ (Doppelschuljahrgang 9/10)

  • Inhaltsfeld: Funktionaler Zusammenhang
  • Kompetenzerwartung: skizzieren Graphen quadratischer Funktionen sowie von Exponential-, Sinus- und Kosinusfunktionen in einfachen Fällen
  • Kompetenzerwartung: beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei quadratischen Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.
  • Kompetenzerwartung: wechseln bei quadratischen Funktionstermen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei zwischen allgemeiner und faktorisierter Form sowie Scheitelpunktform.
  • Kompetenzerwartung: beschreiben den Zusammenhang zwischen möglichen Nullstellen und dem Scheitelpunkt der Graphen quadratischer Funktionen einerseits und der Lösung quadratischer Gleichungen andererseits.
  • Kompetenzerwartung: wählen geeignete Verfahren zum Lösen von Gleichungen
  • Kompetenzerwartung: lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit Funktionen auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.

Ablauf

  1. Abschnitt 1

    Normalparabel und Streckung

    Die Normalparabel und ihre Eigenschaften, Strecken, Stauchen und Spiegeln mit dem Faktor a, Punktprobe, a aus einem Punkt bestimmen.

    • Lektion

      Normalparabel und y = a·x²: strecken, stauchen, spiegeln

      Ein Fahrlehrer erklärt eine Faustformel: Bremsweg in Metern gleich Geschwindigkeit in km/h durch 10, das Ganze zum Quadrat. Bei 50 km/h sind das m…

    • Aufgabe

      Parabeln im Alltag

      Finde zwei Gegenstände oder Vorgänge in deinem Alltag, die wie eine Parabel aussehen (zum Beispiel ein Wasserstrahl, ein Brückenbogen, die Flugbahn eines Balls).

      1. Beschreibe sie kurz oder fotografiere sie.
      2. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Ist sie eher gestreckt oder gestaucht?
      3. Wo würdest du den Scheitelpunkt einzeichnen?

  2. Abschnitt 2

    Scheitelpunktform

    Verschieben nach oben, unten, rechts und links, Scheitelpunktform mit Scheitel S(d|e), Skizzieren ohne Wertetabelle, Gleichung aus Scheitel und Punkt.

  3. Abschnitt 3

    Allgemeine Form und quadratische Ergänzung

    Allgemeine Form und y-Achsenabschnitt, Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform, quadratische Ergänzung mit und ohne Faktor vor x², Kontrolle mit der Scheitelformel.

  4. Abschnitt 4

    Nullstellen und faktorisierte Form

    Satz vom Nullprodukt, faktorisierte Form, Scheitel in der Mitte der Nullstellen, Faktorisieren durch Ausklammern und dritte binomische Formel, drei Formen im Vergleich.

    • Lektion

      Nullstellen und faktorisierte Form einer Parabel

      Ein Ball wird vom Boden aus senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe in Metern nach Sekunden ist ungefähr . Wann landet er wieder? Bei dieser…

    • Aufgabe

      Eine Funktion, drei Formen

      Wähle zwei ganze Zahlen m und n als Nullstellen und einen Faktor a ≠ 0.

      1. Schreibe die Funktion in faktorisierter Form auf.
      2. Multipliziere sie zur allgemeinen Form aus.
      3. Bestimme die Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung und prüfe, ob der Scheitel in der Mitte zwischen m und n liegt.
      4. Zeichne die Parabel und markiere, welche Form welchen Punkt direkt verrät.

  5. Abschnitt 5

    Quadratische Gleichungen lösen

    Reinquadratische Gleichungen, Ausklammern, Gleichungen in Scheitelpunktform, pq-Formel, Diskriminante und Anzahl der Lösungen, Zusammenhang mit den Nullstellen.

  6. Abschnitt 6

    Quadratische Funktionen anwenden

    Optimierungsprobleme in fünf Schritten, Gehege an der Hauswand, größte Rechteckfläche, Kugelstoß und Wurfparabeln, Gültigkeitsbereich des Modells.

    • Lektion

      Quadratische Funktionen anwenden: Optimierung und Wurfparabeln

      Für ein Kaninchengehege hast du 20 m Zaun. Das Gehege soll rechteckig sein und an einer Hauswand liegen, dort brauchst du keinen Zaun. Wie lang…

    • Material

      Sachaufgaben mit quadratischen Funktionen

      Serlo Education e. V., Lizenz: CC BY-SA 4.0

    • Aufgabe

      Wurfparabel messen

      Filme mit einem Handy einen schrägen Wurf (zum Beispiel einen Ball auf dem Schulhof) vor einer Wand mit bekannten Abständen oder lies Werte aus einem Foto mit Serienbildern ab.

      1. Bestimme näherungsweise Abwurfpunkt, höchsten Punkt und Landepunkt.
      2. Stelle mit dem Scheitel und einem weiteren Punkt eine Funktion in Scheitelpunktform auf.
      3. Prüfe mit dem Landepunkt, wie gut dein Modell passt, und nenne einen Grund für Abweichungen.

  7. Abschnitt 7

    Übungsmix und typische Fehler

    Entscheidungsbaum für den Lösungsweg, vollständige Untersuchung einer Funktion, Parabel aus drei Punkten, Fehlertabelle und gemischte Übungen zur Sicherung.

Hinweise für Lehrkräfte

Zeitplan (etwa 14 Stunden)

AbschnittStundenSchwerpunkt
1 Normalparabel und Streckung2Eigenschaften, Parameter a, Punktprobe
2 Scheitelpunktform2Verschiebungen, Skizzieren, Gleichung aufstellen
3 Allgemeine Form2Ausmultiplizieren, quadratische Ergänzung
4 Faktorisierte Form2Satz vom Nullprodukt, Symmetrie, drei Formen
5 Quadratische Gleichungen3Typen, pq-Formel, Diskriminante
6 Anwenden2Optimierung, Wurfparabeln
7 Übungsmix und Fehler1Sicherung

Didaktische Hinweise

  • Das Kerncurriculum (Gymnasium) verlangt die Parametervariation für alle drei Formen und die Charakterisierung nach Streckung, Öffnung, Symmetrie, Scheitelpunkt und Nullstellen. Die Graphen mit Schiebereglern in den Lektionen 1, 2, 4 und 5 sind dafür gedacht: erst vermuten lassen, dann am Regler prüfen, dann begründen.
  • Der Zusammenhang „x-Koordinate des Scheitels liegt in der Mitte der Nullstellen“ wird im Kerncurriculum ausdrücklich hervorgehoben. Lektion 4 nutzt ihn, Lektion 6 baut die Optimierungsaufgaben darauf auf (Scheitel über die Nullstellen statt über die quadratische Ergänzung).
  • Die pq-Formel wird nicht als Rezept eingeführt, sondern als verallgemeinerte quadratische Ergänzung (Knobelaufgabe 7 in Lektion 3 liefert den Scheitel von x2+px+qx^2 + px + q, daraus folgt die Formel). Hilfsmittelfrei verlangt das Kerncurriculum die Typen x2+px=0x^2 + px = 0 und x2+q=0x^2 + q = 0 sowie einfache Fälle der übrigen Typen.
  • Die Diskriminante wird an der Lage des Scheitels gedeutet (Graph mit Reglern p und q in Lektion 5). Das verknüpft Gleichung und Graph, wie es der Lernbereich fordert.
  • Nicht enthalten sind die Parabel als Ortslinie (Leitlinie und Brennpunkt) und Ausgleichsparabeln mit dem Regressionsmodul. Beides steht im Kern des Gymnasial-Lernbereichs und sollte ergänzt werden, etwa mit einer DGS-Konstruktion und den Messwerten aus der Aufgabe in Abschnitt 6.

Typische Fehlvorstellungen

  • Vorzeichen bei der Verschiebung: (x+3)2(x + 3)^2 wird als Verschiebung nach rechts gelesen. Die Frage „Wo wird die Klammer null?“ hilft.
  • (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2 beim Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform.
  • −32=9-3^2 = 9 bei Punktproben mit negativen Zahlen.
  • Nur die positive Lösung bei x2=qx^2 = q, oft durch Taschenrechner-Gewohnheit.
  • Division durch xx bei x2+px=0x^2 + px = 0, wodurch x=0x = 0 verloren geht.
  • pq-Formel ohne Normieren bei a≠1a \neq 1.
  • „Gestreckt heißt breiter“: Der Begriff bezieht sich auf die Streckung in yy-Richtung, die Parabel wird dabei schmaler.
  • Modellgrenzen ignoriert: negative Längen, negative Höhen nach der Landung.

Differenzierung

  • Grundlagenaufgaben nutzen ganzzahlige Parameter und Nullstellen. Weiter-Aufgaben bringen Faktoren a≠1a \neq 1, Dezimalzahlen und Sachkontexte.
  • Für schwächere Lernende: Schablone der Normalparabel zum Zeichnen, Lektion 3 nur mit a=1a = 1, in Lektion 5 zunächst die Typen 1 bis 3.
  • Für stärkere Lernende: Satz von Vieta (Lektion 5), Herleitung der Scheitelformel (Lektion 3), Kinopreis-Aufgabe (Lektion 6).
  • Im Realschulzweig der Oberschule ist die Scheitelpunktform nur mit a=1a = 1 Regelanforderung. Dort können Lektion 1 und 2 auf Normalparabeln und Verschiebungen konzentriert werden.

Prozessbezogene Kompetenzen

  • Darstellen: Wechsel zwischen Gleichung, Tabelle und Graph, Skizzieren ohne Hilfsmittel.
  • Argumentieren: Anzahl der Nullstellen aus Scheitel und Öffnung begründen, Symmetrie nutzen, Fehler erklären.
  • Probleme lösen: Entscheidungsbaum für den Lösungsweg, Optimierung mit Nebenbedingung.
  • Modellieren: Wurfparabeln, Brückenbögen, Gehege, Einnahmen, jeweils mit Gültigkeitsbereich.

Häufige Fragen

In welcher Klasse werden quadratische Funktionen in Niedersachsen unterrichtet?

Am Gymnasium im Doppelschuljahrgang 9/10, Lernbereich „Quadratische Zusammenhänge“, meist in Klasse 9. In den Kerncurricula der Haupt- und Realschule, nach denen die Oberschule ab Jahrgang 7 unterrichtet, gehören sie ebenfalls zu 9/10.

Passt die Reihe für die Oberschule?

Im Realschulzweig ja, mit Abstrichen: Dort ist die Scheitelpunktform nur mit a = 1 Regelanforderung, der allgemeine Faktor a ist weiterführend. Die faktorisierte Form steht im Realschul-Kerncurriculum nicht ausdrücklich. Lektion 4 kann dort auf das Ausklammern verkürzt werden.

pq-Formel oder abc-Formel?

Die Reihe nutzt die pq-Formel und leitet sie aus der quadratischen Ergänzung her, wie es in Niedersachsen üblich ist. Ein Hinweis im Kurs erklärt, dass die Mitternachtsformel (abc-Formel) dieselben Lösungen liefert.

Wie viele Stunden braucht die Reihe?

Etwa 14 Unterrichtsstunden. Die Parabel als Ortslinie und Ausgleichsparabeln mit dem Regressionsmodul, die das Gymnasial-Kerncurriculum ebenfalls nennt, sind nicht enthalten und brauchen weitere 2 bis 3 Stunden.

Quellen

Bildnachweise

  • Titelbild: KI-generiert
  • Parabel y = (x − 2)² − 3 mit dem Scheitel S(2 | −3) und der Symmetrieachse x = 2. Vom Scheitel aus führen 1 nach rechts und 1 nach oben sowie 2 nach rechts und 4 nach oben zu Parabelpunkten, links gespiegelt.: Eigene Darstellung

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