Scheitelpunktform: Parabeln verschieben und Scheitelpunkt ablesen

Einstieg

Der Wasserstrahl eines Springbrunnens hat seinen höchsten Punkt nicht im Ursprung, sondern zum Beispiel 5 m entfernt in 5 m Höhe. Die Parabeln aus der letzten Lektion hatten ihren Scheitel immer bei $(0 \mid 0)$. Um echte Parabeln zu beschreiben, musst du sie verschieben können: nach oben, nach unten, nach links und nach rechts.

Erklärung

Verschieben nach oben oder unten: $y = x^2 + e$

Zu jedem Funktionswert der Normalparabel wird $e$ addiert. Die ganze Parabel wandert um $e$ nach oben (bei $e < 0$ nach unten). Scheitelpunkt: $S(0 \mid e)$.

Verschieben nach rechts oder links: $y = (x - d)^2$

Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer 0 wird, also bei $x = d$. Die Parabel ist um $d$ nach rechts verschoben. Scheitelpunkt: $S(d \mid 0)$.

Vorsicht beim Vorzeichen:

• $y = (x - 3)^2$: Die Klammer ist 0 bei $x = 3$. Verschiebung um 3 nach rechts.
• $y = (x + 3)^2 = (x - (-3))^2$: Die Klammer ist 0 bei $x = -3$. Verschiebung um 3 nach links.

Die Scheitelpunktform

Alles zusammen ergibt die Scheitelpunktform:

$f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e \qquad \text{Scheitelpunkt } S(d \mid e)$

• $a$ bestimmt Öffnung und Form wie in Lektion 1.
• $d$ verschiebt nach rechts oder links.
• $e$ verschiebt nach oben oder unten.
• Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade $x = d$.

Probiere alle drei Regler aus. Der Punkt zeigt den Scheitel.

(Der Regler für $e$ heißt hier $c$, weil der Buchstabe $e$ in der Grafik schon für eine feste Zahl reserviert ist.)

Ohne Wertetabelle skizzieren

1. Scheitelpunkt $S(d \mid e)$ eintragen.
2. Vom Scheitel aus: 1 nach rechts und links, dann $a$ nach oben (bei negativem $a$ nach unten). 2 nach rechts und links, dann $4a$ nach oben.
3. Die Punkte zu einer glatten, symmetrischen Kurve verbinden.

Beispiele

Beispiel 1: Normalparabel verschieben. $y = (x - 2)^2 + 1$.

Scheitel $S(2 \mid 1)$. Normalparabel, nach oben geöffnet. Weitere Punkte: $(1 \mid 2)$, $(3 \mid 2)$, $(0 \mid 5)$, $(4 \mid 5)$.

Beispiel 2: Alles auf einmal. $y = -0{,}5(x + 3)^2 + 4$.

Scheitel $S(-3 \mid 4)$, nach unten geöffnet, gestaucht. Von $S$ aus 2 nach rechts: $-0{,}5 \cdot 4 = -2$, also 2 nach unten. Punkte $(-1 \mid 2)$ und $(-5 \mid 2)$. Der Scheitel ist der höchste Punkt.

Beispiel 3: Gleichung aufstellen. Eine Parabel hat den Scheitel $S(1 \mid -3)$ und geht durch $P(3 \mid 5)$.

Ansatz: $y = a(x - 1)^2 - 3$. $P$ einsetzen: $5 = a \cdot (3 - 1)^2 - 3 = 4a - 3$. Also $4a = 8$ und $a = 2$. Gleichung: $y = 2(x - 1)^2 - 3$.

Merksatz

Scheitelpunktform: $f(x) = a(x - d)^2 + e$ mit Scheitelpunkt $S(d \mid e)$. Bei $(x - d)$ verschiebt sich die Parabel nach rechts, bei $(x + d)$ nach links. $e$ verschiebt nach oben oder unten, $a$ bestimmt Form und Öffnung.

Übungen

Grundlagen

1. Gib den Scheitelpunkt an: a) $y = (x - 4)^2 + 2$, b) $y = (x + 1)^2 - 5$, c) $y = -2(x - 3)^2$, d) $y = x^2 - 7$, e) $y = 0{,}5(x + 2)^2 + 3$.
2. Gib die Gleichung an: a) Normalparabel, nach oben geöffnet, Scheitel $S(-2 \mid 3)$. b) Mit dem Faktor 3 gestreckt, nach unten geöffnet, Scheitel $S(1 \mid -4)$.
3. Skizziere $y = (x - 3)^2 - 4$ ohne Wertetabelle. Nenne fünf Punkte, die du benutzt hast.

Weiter

4. Lara sagt: „Der Scheitel von $y = (x + 5)^2 - 2$ ist $S(5 \mid -2)$.“ Erkläre ihren Fehler.
5. Eine Parabel hat den Scheitel $S(2 \mid 1)$ und geht durch $P(4 \mid 9)$. Bestimme ihre Gleichung.
6. Wie viele Schnittpunkte mit der $x$-Achse hat die Parabel? Entscheide ohne zu rechnen und begründe: a) $y = (x - 1)^2 + 3$, b) $y = -(x - 1)^2 + 3$, c) $y = 2(x + 4)^2$.

Knobeln

7. Der Wasserstrahl eines Brunnens folgt $h(x) = -0{,}2(x - 5)^2 + 5$ ($x$ und $h$ in m). Wie hoch steigt der Strahl? In welcher Höhe tritt er bei $x = 0$ aus? Wo trifft er wieder auf den Boden?
8. Eine nach oben geöffnete Normalparabel geht durch $(1 \mid 0)$ und $(5 \mid 0)$. Bestimme ihre Scheitelpunktform. (Tipp: Symmetrie.)

Lösungen

1. a) $S(4 \mid 2)$. b) $S(-1 \mid -5)$. c) $S(3 \mid 0)$. d) $S(0 \mid -7)$. e) $S(-2 \mid 3)$.
2. a) $y = (x + 2)^2 + 3$. b) $y = -3(x - 1)^2 - 4$.
3. Scheitel $(3 \mid -4)$. Weitere Punkte: $(2 \mid -3)$, $(4 \mid -3)$, $(1 \mid 0)$, $(5 \mid 0)$.
4. In der Klammer steht $x + 5 = x - (-5)$. Die Klammer wird bei $x = -5$ null. Der Scheitel ist $S(-5 \mid -2)$.
5. $9 = a(4 - 2)^2 + 1 = 4a + 1$, also $a = 2$. $y = 2(x - 2)^2 + 1$.
6. a) Keinen: Scheitel liegt über der $x$-Achse, Parabel ist nach oben geöffnet. b) Zwei: Scheitel liegt über der $x$-Achse, Parabel ist nach unten geöffnet. c) Einen: Der Scheitel $(-4 \mid 0)$ liegt genau auf der $x$-Achse, die Parabel berührt sie.
7. Höchster Punkt ist der Scheitel: 5 m (bei $x = 5$ m). Bei $x = 0$: $h = -0{,}2 \cdot 25 + 5 = 0$. Der Strahl beginnt am Boden. Wegen der Symmetrie zu $x = 5$ trifft er bei $x = 10$ m wieder auf: $h(10) = -0{,}2 \cdot 25 + 5 = 0$.
8. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte zwischen 1 und 5, also $d = 3$. Ansatz $y = (x - 3)^2 + e$. Mit $(1 \mid 0)$: $0 = 4 + e$, $e = -4$. Also $y = (x - 3)^2 - 4$ (vergleiche Aufgabe 3).