Normalparabel und y = a·x²: strecken, stauchen, spiegeln

Einstieg

Ein Fahrlehrer erklärt eine Faustformel: Bremsweg in Metern gleich Geschwindigkeit in km/h durch 10, das Ganze zum Quadrat. Bei 50 km/h sind das $5^2 = 25$ m, bei 100 km/h aber $10^2 = 100$ m. Doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Bremsweg. Das ist kein linearer Zusammenhang mehr. Hier steckt ein Quadrat drin. Funktionen mit $x^2$ heißen quadratische Funktionen, ihre Graphen heißen Parabeln. Du siehst sie überall: beim Wasserstrahl eines Brunnens, bei einem geworfenen Ball, bei Satellitenschüsseln.

Erklärung

Die Normalparabel

Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x) = x^2$.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	9	4	1	0	1	4	9

Ihr Graph heißt Normalparabel. Eigenschaften:

• Der tiefste Punkt ist der Scheitelpunkt $S(0 \mid 0)$.
• Die Parabel ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse: $x$ und $-x$ haben denselben Funktionswert.
• Sie ist nach oben geöffnet. Alle Funktionswerte sind größer oder gleich 0.
• Sie ist keine Gerade. Die Zuwächse in der Tabelle (von 0 nach rechts: 1, 3, 5, 7, …) werden immer größer.

Für das Zeichnen ohne Tabelle merkst du dir: Vom Scheitel aus 1 nach rechts, 1 nach oben. 2 nach rechts, 4 nach oben. 3 nach rechts, 9 nach oben. Nach links genauso.

Strecken, Stauchen, Spiegeln: $f(x) = a \cdot x^2$

Der Faktor $a$ verändert die Form der Parabel. Ziehe am Regler und vergleiche mit der Normalparabel:

$a$	Wirkung	Beispiel
$a > 1$	gestreckt, die Parabel wird schmaler	$y = 2x^2$
$0 < a < 1$	gestaucht, die Parabel wird breiter	$y = 0{,}5x^2$
$a < 0$	an der $x$-Achse gespiegelt, nach unten geöffnet	$y = -x^2$

Bei $a < 0$ ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt. Gestreckt oder gestaucht entscheidet der Betrag von $a$: $y = -3x^2$ ist gestreckt und nach unten geöffnet. Bei $a = 0$ entsteht keine Parabel, sondern die $x$-Achse.

Der Punkt $(1 \mid a)$ liegt immer auf der Parabel. Daran kannst du $a$ direkt ablesen.

Beispiele

Beispiel 1: Wertetabelle. $f(x) = 0{,}5x^2$

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5

Alle Werte sind halb so groß wie bei der Normalparabel. Die Parabel ist gestaucht.

Beispiel 2: Punktprobe. Liegt $P(3 \mid -18)$ auf $y = -2x^2$? $-2 \cdot 3^2 = -2 \cdot 9 = -18$. Ja. Liegt $Q(-2 \mid 8)$ darauf? $-2 \cdot (-2)^2 = -8 \neq 8$. Nein.

Achtung: $(-2)^2 = 4$, aber $-2^2 = -4$. Klammern um negative Zahlen nicht vergessen.

Beispiel 3: $a$ bestimmen. Eine Parabel der Form $y = a x^2$ geht durch $P(2 \mid 12)$. Einsetzen: $12 = a \cdot 4$, also $a = 3$. Die Funktion ist $y = 3x^2$.

Merksatz

Der Graph von $f(x) = x^2$ ist die Normalparabel mit Scheitelpunkt $S(0 \mid 0)$, symmetrisch zur $y$-Achse. Bei $f(x) = a \cdot x^2$ gilt: $|a| > 1$ gestreckt, $|a| < 1$ gestaucht, $a < 0$ nach unten geöffnet.

Übungen

Grundlagen

1. Lege eine Wertetabelle für $y = 2x^2$ mit $x = -2, -1, 0, 1, 2$ an und zeichne den Graphen.
2. Beschreibe die Parabel ohne zu zeichnen: a) $y = 3x^2$, b) $y = -0{,}5x^2$, c) $y = -x^2$.
3. Prüfe, welche Punkte auf $y = 0{,}25x^2$ liegen: $A(4 \mid 4)$, $B(-2 \mid -1)$, $C(6 \mid 9)$.

Weiter

4. Bestimme $a$ so, dass die Parabel $y = a x^2$ durch den Punkt geht: a) $P(3 \mid -18)$, b) $Q(-4 \mid 8)$.
5. Nutze die Faustformel aus dem Einstieg: Bremsweg $s = \left(\frac{v}{10}\right)^2 = 0{,}01 \cdot v^2$. Berechne den Bremsweg bei 30, 60 und 120 km/h. Was passiert mit dem Bremsweg, wenn sich die Geschwindigkeit verdreifacht?
6. Tim sagt: „$y = 2x^2$ ist doppelt so breit wie die Normalparabel.“ Hat er recht? Begründe mit Werten.

Knobeln

7. Berechne in der Tabelle von $y = x^2$ die Zuwächse zwischen benachbarten Werten (für $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$) und danach die Zuwächse der Zuwächse. Was fällt dir auf? Wie sieht das bei $y = 3x^2$ aus?
8. In welchen Punkten schneiden sich die Normalparabel und die Gerade $y = 2x$? Finde die Lösung mit einer Wertetabelle.

Lösungen

1. Werte: 8, 2, 0, 2, 8. Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel und nach oben geöffnet.
2. a) Gestreckt, nach oben geöffnet, Scheitel $(0 \mid 0)$. b) Gestaucht, nach unten geöffnet. c) Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt, nach unten geöffnet.
3. $A$: $0{,}25 \cdot 16 = 4$, liegt darauf. $B$: $0{,}25 \cdot 4 = 1 \neq -1$, liegt nicht darauf. $C$: $0{,}25 \cdot 36 = 9$, liegt darauf.
4. a) $-18 = a \cdot 9$, $a = -2$. b) $8 = a \cdot 16$, $a = 0{,}5$.
5. 30 km/h: 9 m. 60 km/h: 36 m. 120 km/h: 144 m. Bei dreifacher Geschwindigkeit wird der Bremsweg $3^2 = 9$-mal so lang (9 m auf 81 m bei 30 auf 90 km/h).
6. Nein. Bei $y = 2x^2$ sind alle Funktionswerte doppelt so groß, die Parabel steigt schneller und ist dadurch schmaler. Zum Beispiel erreicht sie den Wert 8 schon bei $x = 2$, die Normalparabel erst bei $x \approx 2{,}83$.
7. Werte 0, 1, 4, 9, 16, 25. Zuwächse: 1, 3, 5, 7, 9. Zuwächse der Zuwächse: immer 2. Bei $y = 3x^2$: Werte 0, 3, 12, 27, 48, 75, Zuwächse 3, 9, 15, 21, 27, zweite Zuwächse immer 6. Bei quadratischen Funktionen sind die zweiten Zuwächse konstant, bei linearen schon die ersten.
8. Wertetabelle für $x = 0, 1, 2, 3$: $x^2$ ergibt 0, 1, 4, 9 und $2x$ ergibt 0, 2, 4, 6. Gleich sind die Werte bei $x = 0$ und $x = 2$. Schnittpunkte: $(0 \mid 0)$ und $(2 \mid 4)$. Für negative $x$ ist $x^2$ positiv und $2x$ negativ, dort gibt es keinen weiteren Schnittpunkt. Für $x > 2$ wächst $x^2$ schneller als $2x$.