Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln: quadratische Ergänzung

Einstieg

Die Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 5$ ist quadratisch. Aber wo liegt ihr Scheitelpunkt? Man sieht es dem Term nicht an. Funktionen werden oft so angegeben, in der allgemeinen Form. In dieser Lektion lernst du, zwischen allgemeiner Form und Scheitelpunktform hin und her zu wechseln.

Erklärung

Die allgemeine Form

Jede quadratische Funktion lässt sich schreiben als

$f(x) = a x^2 + b x + c \qquad (a \neq 0)$

Den Faktor $a$ kennst du schon: Er bestimmt Öffnung und Form. $c$ ist der Funktionswert bei $x = 0$, also der Schnittpunkt mit der $y$-Achse $(0 \mid c)$. Den Scheitel sieht man aber nicht direkt.

Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form

Klammer mit der binomischen Formel auflösen, dann ausmultiplizieren und zusammenfassen.

$2(x - 1)^2 - 3 = 2(x^2 - 2x + 1) - 3 = 2x^2 - 4x + 2 - 3 = 2x^2 - 4x - 1$

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung

Der Trick: Man ergänzt den Term so, dass eine binomische Formel entsteht. Für $a = 1$:

1. Nimm die Hälfte der Zahl vor $x$ und quadriere sie.
2. Addiere dieses Quadrat und ziehe es sofort wieder ab. Der Wert des Terms ändert sich dadurch nicht.
3. Fasse die ersten drei Summanden zu einem Binom zusammen.

$x^2 - 6x + 5 = \underbrace{x^2 - 6x + 9}_{(x - 3)^2} - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$

Der Scheitelpunkt ist $S(3 \mid -4)$.

Ist $a \neq 1$, klammerst du $a$ zuerst aus den beiden Summanden mit $x$ aus und ergänzt in der Klammer. Beispiel 4 zeigt das.

Kontrolle mit einer Formel

Für $f(x) = ax^2 + bx + c$ liegt der Scheitel immer bei $x_S = -\frac{b}{2a}$. Den $y$-Wert bekommst du durch Einsetzen: $y_S = f(x_S)$. Diese Formel ist eine gute Kontrolle für die quadratische Ergänzung.

Beispiele

Beispiel 1: Ausmultiplizieren. $y = -(x + 2)^2 + 5 = -(x^2 + 4x + 4) + 5 = -x^2 - 4x + 1$.

Beispiel 2: Quadratische Ergänzung. $y = x^2 + 8x + 10$.

Hälfte von 8 ist 4, $4^2 = 16$. $x^2 + 8x + 16 - 16 + 10 = (x + 4)^2 - 6$. Scheitel $S(-4 \mid -6)$.

Beispiel 3: Ungerade Zahl vor $x$. $y = x^2 + 3x + 1$.

Hälfte von 3 ist 1,5, $1{,}5^2 = 2{,}25$. $(x + 1{,}5)^2 - 2{,}25 + 1 = (x + 1{,}5)^2 - 1{,}25$. Scheitel $S(-1{,}5 \mid -1{,}25)$.

Beispiel 4: $a \neq 1$. $y = 2x^2 + 8x + 3$.

$2$ ausklammern: $2(x^2 + 4x) + 3$. In der Klammer ergänzen: $2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3 = 2\big((x + 2)^2 - 4\big) + 3 = 2(x + 2)^2 - 8 + 3 = 2(x + 2)^2 - 5$.

Scheitel $S(-2 \mid -5)$. Kontrolle: $x_S = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$ und $f(-2) = 8 - 16 + 3 = -5$.

Merksatz

Allgemeine Form $ax^2 + bx + c$: $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Zur Scheitelpunktform kommst du mit der quadratischen Ergänzung: Hälfte der Zahl vor $x$ quadrieren, addieren und wieder abziehen, Binom bilden. Kontrolle: $x_S = -\frac{b}{2a}$.

Übungen

Grundlagen

1. Wandle in die allgemeine Form um: a) $y = (x - 2)^2 + 3$, b) $y = -(x + 1)^2 + 4$, c) $y = 3(x - 1)^2 - 2$.
2. Wandle mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform um: a) $y = x^2 + 4x + 1$, b) $y = x^2 - 10x + 20$, c) $y = x^2 - 2x$.
3. Bestimme den Scheitelpunkt von $y = x^2 + 6x + 13$.

Weiter

4. Bestimme die Scheitelpunktform: a) $y = 2x^2 - 12x + 10$, b) $y = -x^2 + 4x - 1$.
5. Paul rechnet: $x^2 - 8x + 3 = (x - 4)^2 + 3$. Finde den Fehler und rechne richtig.
6. Kontrolliere deine Ergebnisse aus Aufgabe 4 mit der Formel $x_S = -\frac{b}{2a}$.

Knobeln

7. Führe die quadratische Ergänzung allgemein für $y = x^2 + px + q$ durch. Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt?
8. Für welchen Wert von $c$ liegt der Scheitel der Parabel $y = x^2 - 4x + c$ genau auf der $x$-Achse?

Lösungen

1. a) $x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7$. b) $-(x^2 + 2x + 1) + 4 = -x^2 - 2x + 3$. c) $3(x^2 - 2x + 1) - 2 = 3x^2 - 6x + 1$.
2. a) $(x + 2)^2 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3$. b) $(x - 5)^2 - 25 + 20 = (x - 5)^2 - 5$. c) $(x - 1)^2 - 1$.
3. $(x + 3)^2 - 9 + 13 = (x + 3)^2 + 4$. $S(-3 \mid 4)$.
4. a) $2(x^2 - 6x) + 10 = 2\big((x - 3)^2 - 9\big) + 10 = 2(x - 3)^2 - 8$. $S(3 \mid -8)$. b) $-(x^2 - 4x) - 1 = -\big((x - 2)^2 - 4\big) - 1 = -(x - 2)^2 + 3$. $S(2 \mid 3)$.
5. Paul hat die ergänzte 16 nicht wieder abgezogen. Richtig: $x^2 - 8x + 16 - 16 + 3 = (x - 4)^2 - 13$.
6. a) $x_S = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3$, $f(3) = 18 - 36 + 10 = -8$. Stimmt. b) $x_S = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$, $f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$. Stimmt.
7. $x^2 + px + q = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q$. Scheitel $S\left(-\frac{p}{2} \;\middle|\; q - \frac{p^2}{4}\right)$.
8. $x^2 - 4x + c = (x - 2)^2 - 4 + c$. Der Scheitel $(2 \mid c - 4)$ liegt auf der $x$-Achse, wenn $c - 4 = 0$, also $c = 4$. Dann ist $y = (x - 2)^2$.