Nullstellen und faktorisierte Form einer Parabel

Einstieg

Ein Ball wird vom Boden aus senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe in Metern nach $t$ Sekunden ist ungefähr $h(t) = -5t(t - 4)$. Wann landet er wieder? Bei dieser Schreibweise siehst du es fast sofort: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Das passiert bei $t = 0$ (Abwurf) und bei $t = 4$ (Landung). Diese Form der Funktion heißt faktorisierte Form.

Erklärung

Der Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist.

Darum kannst du die Nullstellen von $f(x) = a(x - m)(x - n)$ direkt ablesen: $x - m = 0$ ergibt $x = m$, $x - n = 0$ ergibt $x = n$.

Die faktorisierte Form

$f(x) = a \cdot (x - m) \cdot (x - n) \qquad \text{Nullstellen } x_1 = m, \; x_2 = n$

Achte auch hier auf das Vorzeichen: $(x + 3)$ wird bei $x = -3$ null.

Nullstellen und Scheitel

Die Parabel ist symmetrisch. Darum liegt der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen:

$x_S = \frac{m + n}{2}$

Den $y$-Wert des Scheitels bekommst du durch Einsetzen.

Ziehe an den Reglern und beobachte, wie die Nullstellen wandern und der Scheitel immer in der Mitte bleibt:

Faktorisieren in einfachen Fällen

Ohne Rechenformel kannst du zwei Fälle sofort faktorisieren:

• Kein Summand ohne $x$ ($c = 0$): $x$ ausklammern. $x^2 - 6x = x(x - 6)$.
• Kein Summand mit $x$ allein ($b = 0$): dritte binomische Formel. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Für alle anderen Fälle lernst du in der nächsten Lektion die Lösungsformel.

Nicht jede Parabel hat eine faktorisierte Form. Eine Parabel ohne Nullstellen, zum Beispiel $y = x^2 + 1$, lässt sich nicht so schreiben.

Drei Formen, drei Stärken

Form	Term	Direkt ablesbar
allgemeine Form	$ax^2 + bx + c$	Schnittpunkt mit der $y$-Achse $(0 \mid c)$
Scheitelpunktform	$a(x - d)^2 + e$	Scheitelpunkt $S(d \mid e)$
faktorisierte Form	$a(x - m)(x - n)$	Nullstellen $m$ und $n$

Beispiele

Beispiel 1: Alles aus der faktorisierten Form. $f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$.

Nullstellen: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Scheitel bei $x_S = \frac{1 + (-3)}{2} = -1$, $f(-1) = 2 \cdot (-2) \cdot 2 = -8$. $S(-1 \mid -8)$. Nach oben geöffnet, weil $a = 2 > 0$.

Beispiel 2: Der Ball. $h(t) = -5t(t - 4)$. Nullstellen 0 und 4. Höchster Punkt bei $t = 2$: $h(2) = -5 \cdot 2 \cdot (-2) = 20$. Der Ball steigt 20 m hoch und landet nach 4 Sekunden.

Beispiel 3: Faktorisieren. $3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$. Nullstellen: $2$ und $-2$.

Beispiel 4: Gleichung aus Nullstellen. Eine Parabel hat die Nullstellen $-1$ und $5$ und schneidet die $y$-Achse bei $-10$.

Ansatz: $f(x) = a(x + 1)(x - 5)$. Bei $x = 0$: $a \cdot 1 \cdot (-5) = -10$, also $a = 2$. $f(x) = 2(x + 1)(x - 5)$.

Merksatz

In der faktorisierten Form $f(x) = a(x - m)(x - n)$ liest du die Nullstellen $m$ und $n$ ab (Satz vom Nullprodukt). Der Scheitel liegt in der Mitte: $x_S = \frac{m + n}{2}$. Allgemeine Form, Scheitelpunktform und faktorisierte Form beschreiben dieselbe Funktion, zeigen aber verschiedene Eigenschaften.

Übungen

Grundlagen

1. Gib die Nullstellen an: a) $y = (x - 2)(x - 7)$, b) $y = -3(x + 4)(x - 1)$, c) $y = 0{,}5x(x + 6)$, d) $y = (x - 3)^2$.
2. Bestimme den Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen: a) $y = (x - 2)(x - 6)$, b) $y = -(x + 1)(x - 3)$.
3. Faktorisiere und gib die Nullstellen an: a) $y = x^2 + 7x$, b) $y = x^2 - 25$, c) $y = 2x^2 - 8x$.

Weiter

4. Multipliziere $y = (x - 1)(x - 5)$ aus. Vergleiche mit Lektion 3: Welche Scheitelpunktform hat dieselbe Funktion? Gib alle drei Formen an.
5. Eine Parabel hat die Nullstellen $-2$ und $4$ und geht durch $P(1 \mid -18)$. Bestimme die Gleichung. Was fällt dir an $P$ auf?
6. Welche Form würdest du wählen, um a) den Schnittpunkt mit der $y$-Achse, b) den höchsten Punkt, c) die Stellen, an denen die Funktion null ist, schnell anzugeben?

Knobeln

7. Ein Brückenbogen ist am Boden 40 m breit und in der Mitte 10 m hoch. Lege den Ursprung an den linken Fuß des Bogens und beschreibe ihn mit $y = a \cdot x \cdot (x - 40)$. Bestimme $a$. Wie hoch ist der Bogen 5 m vom Rand entfernt?
8. Begründe, warum $y = x^2 + 1$ keine faktorisierte Form hat.

Lösungen

1. a) 2 und 7. b) $-4$ und 1. c) 0 und $-6$. d) Nur 3 (doppelte Nullstelle, die Parabel berührt die $x$-Achse).
2. a) $x_S = 4$, $y_S = (4 - 2)(4 - 6) = -4$: $S(4 \mid -4)$. b) $x_S = 1$, $y_S = -(2)(-2) = 4$: $S(1 \mid 4)$.
3. a) $x(x + 7)$: 0 und $-7$. b) $(x - 5)(x + 5)$: 5 und $-5$. c) $2x(x - 4)$: 0 und 4.
4. $(x - 1)(x - 5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$. Aus Lektion 3: $x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$. Die drei Formen: $x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4 = (x - 1)(x - 5)$.
5. $y = a(x + 2)(x - 4)$. $P$ einsetzen: $-18 = a \cdot 3 \cdot (-3) = -9a$, also $a = 2$. $y = 2(x + 2)(x - 4)$. $P$ liegt bei $x = 1$, genau in der Mitte zwischen $-2$ und $4$. $P$ ist also der Scheitelpunkt.
6. a) Allgemeine Form. b) Scheitelpunktform. c) Faktorisierte Form.
7. Scheitel bei $x = 20$, Höhe 10: $10 = a \cdot 20 \cdot (-20) = -400a$, also $a = -0{,}025$. Bei $x = 5$: $y = -0{,}025 \cdot 5 \cdot (-35) = 4{,}375$. Der Bogen ist dort knapp 4,4 m hoch.
8. Für jedes $x$ ist $x^2 \ge 0$, also $x^2 + 1 \ge 1$. Die Funktion wird nie 0 und hat keine Nullstellen. In einer faktorisierten Form $a(x - m)(x - n)$ wären $m$ und $n$ aber Nullstellen.