Quadratische Gleichungen lösen bis zur pq-Formel

Einstieg

Ein rechteckiges Beet soll 40 m² groß werden. Es soll 3 m länger als breit sein. Wie breit muss es sein? Nennst du die Breite $x$, ist die Länge $x + 3$ und es gilt $x(x + 3) = 40$, also $x^2 + 3x - 40 = 0$. Das ist eine quadratische Gleichung. Durch Probieren findest du vielleicht $x = 5$. Aber gibt es noch andere Lösungen, und wie findet man sie, wenn Probieren nicht klappt?

Erklärung

Lösen heißt: alle $x$ finden, für die die Gleichung stimmt. Grafisch sind das die Nullstellen der Parabel. Je nach Bauart der Gleichung gibt es einen schnellen Weg.

Typ 1: $x^2 = q$

• $q > 0$: zwei Lösungen, $x = \sqrt{q}$ und $x = -\sqrt{q}$. Die negative Lösung wird oft vergessen.
• $q = 0$: eine Lösung, $x = 0$.
• $q < 0$: keine Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ.

Gleichungen wie $2x^2 - 18 = 0$ bringst du erst auf diese Form: $x^2 = 9$.

Typ 2: $x^2 + px = 0$ (kein Summand ohne $x$)

$x$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt nutzen: $x(x + p) = 0$, also $x = 0$ oder $x = -p$. Nicht durch $x$ teilen, dabei geht die Lösung $x = 0$ verloren.

Typ 3: Scheitelpunktform gleich null

$(x - 2)^2 - 9 = 0$ ergibt $(x - 2)^2 = 9$, also $x - 2 = 3$ oder $x - 2 = -3$. Lösungen: $x = 5$ und $x = -1$.

Typ 4: $x^2 + px + q = 0$, die pq-Formel

Für die allgemeinste Form führt die quadratische Ergänzung immer zum selben Ergebnis. Man hat es deshalb als Formel aufgeschrieben:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Steht vor $x^2$ eine andere Zahl als 1, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl.

Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$. Er entscheidet über die Anzahl der Lösungen:

Diskriminante	Lösungen	Parabel $y = x^2 + px + q$
$D > 0$	zwei	schneidet die $x$-Achse zweimal
$D = 0$	eine	berührt die $x$-Achse im Scheitel
$D < 0$	keine	liegt ganz über der $x$-Achse

Probiere es aus: Verändere $p$ und $q$ und beobachte, wann die Parabel die $x$-Achse schneidet, berührt oder verfehlt.

Beispiele

Beispiel 1: Typ 1. $2x^2 - 18 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x_1 = 3, \; x_2 = -3$.

Beispiel 2: Typ 2. $x^2 - 5x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0, \; x_2 = 5$.

Beispiel 3: Das Beet. $x^2 + 3x - 40 = 0$, also $p = 3$, $q = -40$.

$x_{1,2} = -1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 40} = -1{,}5 \pm \sqrt{42{,}25} = -1{,}5 \pm 6{,}5$.

$x_1 = 5$, $x_2 = -8$. Eine Breite kann nicht negativ sein. Das Beet ist 5 m breit und 8 m lang. Probe: $5 \cdot 8 = 40$.

Beispiel 4: Erst teilen. $2x^2 - 8x + 6 = 0$. Durch 2 teilen: $x^2 - 4x + 3 = 0$, also $p = -4$, $q = 3$.

$x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1$. $x_1 = 3$, $x_2 = 1$.

Beispiel 5: Keine Lösung. $x^2 + 2x + 5 = 0$. $D = 1^2 - 5 = -4 < 0$. Die Gleichung hat keine Lösung, die Parabel $y = x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$ liegt ganz über der $x$-Achse.

Merksatz

$x^2 = q$: $x = \pm\sqrt{q}$. $\;x^2 + px = 0$: ausklammern, $x = 0$ oder $x = -p$. $\;x^2 + px + q = 0$: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$. Die Diskriminante unter der Wurzel entscheidet über zwei, eine oder keine Lösung. Vorher durch den Faktor vor $x^2$ teilen.

Übungen

Grundlagen

1. Löse: a) $x^2 = 64$, b) $x^2 - 0{,}25 = 0$, c) $3x^2 = 27$, d) $x^2 + 4 = 0$.
2. Löse durch Ausklammern: a) $x^2 + 9x = 0$, b) $4x^2 - 12x = 0$.
3. Löse mit der pq-Formel: a) $x^2 - 6x + 8 = 0$, b) $x^2 + 2x - 15 = 0$, c) $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Weiter

4. Löse: a) $2x^2 + 4x - 30 = 0$, b) $-x^2 + 6x - 5 = 0$, c) $(x - 2)^2 - 9 = 0$.
5. Bestimme nur mit der Diskriminante, wie viele Lösungen die Gleichung hat: a) $x^2 + 4x + 5 = 0$, b) $x^2 - 10x + 25 = 0$, c) $x^2 + x - 1 = 0$.
6. Das Quadrat einer Zahl ist um 12 größer als die Zahl selbst. Welche Zahl kann es sein? Finde alle Lösungen.

Knobeln

7. Für welche Werte von $q$ hat $x^2 + 6x + q = 0$ genau eine Lösung? Für welche hat sie keine?
8. Vergleiche bei Aufgabe 3a und 3b die Summe und das Produkt der beiden Lösungen mit $p$ und $q$. Was fällt dir auf? Begründe, indem du $(x - x_1)(x - x_2)$ ausmultiplizierst.

Lösungen

1. a) $x = 8$ oder $x = -8$. b) $x^2 = 0{,}25$: $x = \pm 0{,}5$. c) $x^2 = 9$: $x = \pm 3$. d) $x^2 = -4$: keine Lösung.
2. a) $x(x + 9) = 0$: $x = 0$ oder $x = -9$. b) $4x(x - 3) = 0$: $x = 0$ oder $x = 3$.
3. a) $x = 3 \pm \sqrt{9 - 8} = 3 \pm 1$: $x_1 = 4$, $x_2 = 2$. b) $x = -1 \pm \sqrt{1 + 15} = -1 \pm 4$: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$. c) $x = 2 \pm \sqrt{4 - 4} = 2$: genau eine Lösung.
4. a) Durch 2: $x^2 + 2x - 15 = 0$, Lösungen 3 und $-5$ (wie 3b). b) Mal $-1$: $x^2 - 6x + 5 = 0$, $x = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2$: 5 und 1. c) $(x - 2)^2 = 9$: $x - 2 = \pm 3$, also $x = 5$ oder $x = -1$.
5. a) $D = 4 - 5 = -1$: keine Lösung. b) $D = 25 - 25 = 0$: eine Lösung. c) $D = 0{,}25 + 1 = 1{,}25$: zwei Lösungen.
6. $x^2 = x + 12$, also $x^2 - x - 12 = 0$. $x = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 12} = 0{,}5 \pm 3{,}5$. Die Zahl ist 4 oder $-3$. Probe: $16 = 4 + 12$ und $9 = -3 + 12$.
7. $D = 9 - q$. Genau eine Lösung bei $q = 9$, keine bei $q > 9$.
8. 3a: Summe $4 + 2 = 6 = -p$ (mit $p = -6$), Produkt $8 = q$. 3b: Summe $3 + (-5) = -2 = -p$, Produkt $-15 = q$. Begründung: $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$. Vergleich mit $x^2 + px + q$ ergibt $x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$ (Satz von Vieta).