Quadratische Funktionen: Übungsmix und typische Fehler

Einstieg

Du kennst jetzt drei Formen quadratischer Funktionen, mehrere Wege zum Lösen quadratischer Gleichungen und Anwendungen vom Kugelstoß bis zum Kaninchengehege. In dieser letzten Lektion bringst du alles zusammen: Welche Form, welcher Lösungsweg passt wann? Und welche Fehler solltest du in der Klassenarbeit vermeiden?

Erklärung

Welcher Lösungsweg passt?

Eine Funktion vollständig untersuchen

Zu einer quadratischen Funktion gehören meist diese Fragen:

1. Ist die Parabel nach oben oder unten geöffnet, gestreckt oder gestaucht? ($a$ ansehen)
2. Wo liegt der Scheitelpunkt? (Scheitelpunktform, quadratische Ergänzung)
3. Wo schneidet sie die $y$-Achse? ($f(0)$)
4. Wo liegen die Nullstellen? ($f(x) = 0$ lösen)
5. Skizze mit Scheitel, Nullstellen und Achsenschnittpunkt.

Die häufigsten Fehler

Fehler	Falsch	Richtig
Vorzeichen in der Scheitelpunktform	$(x + 4)^2 + 1$: „$S(4 \mid 1)$“	$S(-4 \mid 1)$
Binom falsch aufgelöst	$(x + 4)^2 = x^2 + 16$	$x^2 + 8x + 16$
Minus vor der Potenz	$-3^2 = 9$	$-3^2 = -9$, aber $(-3)^2 = 9$
Negative Lösung vergessen	$x^2 = 25$: „$x = 5$“	$x = 5$ oder $x = -5$
Durch $x$ geteilt	$x^2 + 4x = 0$: „$x = -4$“	$x(x + 4) = 0$: $x = 0$ oder $x = -4$
pq-Formel ohne vorheriges Teilen	$2x^2 - 8x + 6 = 0$ mit $p = -8$	erst durch 2: $p = -4$, $q = 3$
Ergänztes Quadrat nicht abgezogen	$x^2 - 8x + 3 = (x - 4)^2 + 3$	$(x - 4)^2 - 13$
Lösung im Sachzusammenhang nicht geprüft	Breite $-8$ m	Negative Längen streichen

Beispiele

Beispiel 1: Vollständige Untersuchung. $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

• $a = 1$: Normalparabel, nach oben geöffnet.
• Scheitel: $(x - 1)^2 - 1 - 8 = (x - 1)^2 - 9$, also $S(1 \mid -9)$.
• $y$-Achse: $f(0) = -8$.
• Nullstellen: $x = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3$, also $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
• Faktorisierte Form: $f(x) = (x - 4)(x + 2)$. Kontrolle: Mitte von $-2$ und $4$ ist 1, die $x$-Koordinate des Scheitels.

Beispiel 2: Parabel aus drei Punkten. Eine Parabel geht durch $(1 \mid 0)$, $(3 \mid 0)$ und $(0 \mid 3)$. Zwei Punkte sind Nullstellen, also $f(x) = a(x - 1)(x - 3)$. Mit $(0 \mid 3)$: $a \cdot (-1) \cdot (-3) = 3a = 3$, $a = 1$. $f(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$.

Merksatz

Scheitelpunktform für den Scheitel, faktorisierte Form für die Nullstellen, allgemeine Form für den $y$-Achsenabschnitt. Beim Lösen zuerst den passenden Typ erkennen. Bei der pq-Formel vorher durch den Faktor vor $x^2$ teilen und beide Lösungen angeben.

Übungen

Grundlagen

1. Untersuche $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$: Öffnung, Scheitelpunkt, Schnittpunkt mit der $y$-Achse, Nullstellen.
2. Löse: a) $x^2 - 7x + 10 = 0$, b) $3x^2 = 48$, c) $x^2 + 6x = 0$.
3. Bringe $f(x) = x^2 + 10x + 21$ in die Scheitelpunktform. Gib Scheitel und Nullstellen an.

Weiter

4. Finde die Fehler und rechne richtig: a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$, b) „Bei $2x^2 - 8x + 6 = 0$ ist $p = -8$ und $q = 6$.“ c) $-3^2 = 9$.
5. Eine Parabel hat den Scheitel $S(-1 \mid 2)$ und geht durch $P(1 \mid -6)$. Bestimme die Gleichung und die Nullstellen.
6. Ordne jeder Beschreibung eine Funktion zu: $f_1(x) = (x - 2)^2$, $\;f_2(x) = x^2 - 4$, $\;f_3(x) = -x^2 + 4$, $\;f_4(x) = (x + 2)^2 - 4$.
   • (i) Scheitel $(0 \mid -4)$, Nullstellen $\pm 2$
   • (ii) nach unten geöffnet, Nullstellen $\pm 2$
   • (iii) berührt die $x$-Achse bei $x = 2$
   • (iv) Scheitel $(-2 \mid -4)$, Nullstellen $0$ und $-4$

Knobeln

7. Wird die Seite eines Quadrats um 3 cm verlängert, wird seine Fläche viermal so groß. Wie lang ist die Seite? Löse auf zwei Arten.
8. Erstelle selbst eine Aufgabe zu einer quadratischen Funktion aus deinem Alltag (Wurf, Brücke, Fläche) und löse sie vollständig. Gib an, für welche Werte dein Modell gilt.

Lösungen

1. Nach unten geöffnet, Normalparabel gespiegelt. $S(3 \mid 4)$. $f(0) = -9 + 4 = -5$. Nullstellen: $(x - 3)^2 = 4$, $x - 3 = \pm 2$, also $x = 1$ und $x = 5$.
2. a) $x = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 10} = 3{,}5 \pm 1{,}5$: 5 und 2. b) $x^2 = 16$: $x = \pm 4$. c) $x(x + 6) = 0$: 0 und $-6$.
3. $(x + 5)^2 - 25 + 21 = (x + 5)^2 - 4$. $S(-5 \mid -4)$. Nullstellen: $(x + 5)^2 = 4$, $x = -5 \pm 2$, also $-3$ und $-7$.
4. a) Das gemischte Glied fehlt: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$. b) Erst durch 2 teilen: $x^2 - 4x + 3 = 0$, $p = -4$, $q = 3$. $x = 2 \pm 1$: 3 und 1. c) Die Potenz wird vor dem Minus berechnet: $-3^2 = -9$.
5. $-6 = a(1 + 1)^2 + 2 = 4a + 2$, $a = -2$. $f(x) = -2(x + 1)^2 + 2$. Nullstellen: $(x + 1)^2 = 1$, $x = -1 \pm 1$, also 0 und $-2$.
6. (i) $f_2$. (ii) $f_3$. (iii) $f_1$. (iv) $f_4$: $(x + 2)^2 - 4 = x^2 + 4x = x(x + 4)$.
7. Weg 1: $(a + 3)^2 = 4a^2$. Da beide Seiten positiv sind, gilt $a + 3 = 2a$, also $a = 3$. Weg 2: $a^2 + 6a + 9 = 4a^2$, also $3a^2 - 6a - 9 = 0$ und $a^2 - 2a - 3 = 0$. $a = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2$: $a = 3$ oder $a = -1$. Die negative Lösung entfällt. Die Seite ist 3 cm lang. Probe: $6^2 = 36 = 4 \cdot 9$.
8. Individuelle Lösung. Die Aufgabe soll eine Funktion, den Scheitel oder die Nullstellen und eine Aussage zum Gültigkeitsbereich enthalten.