Quadratische Funktionen anwenden: Optimierung und Wurfparabeln

Einstieg

Für ein Kaninchengehege hast du 20 m Zaun. Das Gehege soll rechteckig sein und an einer Hauswand liegen, dort brauchst du keinen Zaun. Wie lang müssen die Seiten sein, damit die Kaninchen möglichst viel Platz haben? Wenn du die Fläche als Funktion einer Seitenlänge aufschreibst, entsteht eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist die Antwort. Solche Fragen nach dem Größten oder Kleinsten heißen Optimierungsprobleme.

Erklärung

Größter oder kleinster Wert

Bei einer nach unten geöffneten Parabel ($a < 0$) ist der Scheitel der höchste Punkt. Bei einer nach oben geöffneten ($a > 0$) ist er der tiefste. Wer also den größten oder kleinsten Wert einer quadratischen Funktion sucht, sucht ihren Scheitelpunkt.

Optimierungsaufgaben in fünf Schritten

1. Gesuchte Größe benennen: Was soll möglichst groß oder klein werden?
2. Variable wählen, zum Beispiel eine Seitenlänge $x$.
3. Nebenbedingung nutzen, um alle anderen Größen durch $x$ auszudrücken (zum Beispiel: Der Zaun ist 20 m lang).
4. Funktion aufstellen und ihren Scheitelpunkt bestimmen: mit quadratischer Ergänzung oder über die Nullstellen.
5. Antwort in der Situation geben und prüfen, ob $x$ überhaupt in Frage kommt.

Würfe und Bögen

Ein geworfener Ball, ein Kugelstoß oder ein Wasserstrahl fliegen näherungsweise auf einer Parabel. Typische Fragen:

Frage	Mathematisch
Aus welcher Höhe wird abgeworfen?	Funktionswert bei $x = 0$
Wie hoch fliegt er?	$y$-Koordinate des Scheitels
Wie weit fliegt er?	positive Nullstelle

Beispiele

Beispiel 1: Das Kaninchengehege. Die beiden Seiten, die von der Wand wegführen, sind je $x$ lang. Für die Seite parallel zur Wand bleiben $20 - 2x$ Meter Zaun.

Fläche: $A(x) = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x$.

Über die Nullstellen: $A(x) = 0$ bei $x = 0$ und $x = 10$. Der Scheitel liegt in der Mitte bei $x = 5$. $A(5) = 5 \cdot 10 = 50$.

Die beiden Seiten, die von der Wand wegführen, sind je 5 m lang, die Seite parallel zur Wand ist 10 m lang. Das Gehege ist dann 50 m² groß. Sinnvoll sind nur Werte $0 < x < 10$.

Beispiel 2: Kugelstoßen. Die Flugbahn einer Kugel wird beschrieben durch $h(x) = -0{,}05(x - 6)^2 + 3{,}8$ ($x$: waagerechte Entfernung in m, $h$: Höhe in m).

• Abwurfhöhe: $h(0) = -0{,}05 \cdot 36 + 3{,}8 = 2$ m.
• Größte Höhe: Scheitel $S(6 \mid 3{,}8)$, also 3,8 m in 6 m Entfernung.
• Weite: $h(x) = 0$ ergibt $(x - 6)^2 = 76$, also $x = 6 + \sqrt{76} \approx 14{,}72$ m. Die negative Lösung $6 - \sqrt{76}$ liegt hinter dem Abwurfpunkt und hat hier keine Bedeutung.

Beispiel 3: Größte Rechteckfläche. Ein Rechteck hat den Umfang 24 m. Bei der Seite $x$ ist die andere Seite $12 - x$. Fläche: $A(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x = -(x - 6)^2 + 36$. Größte Fläche 36 m² bei $x = 6$: Das Rechteck ist ein Quadrat.

Merksatz

Bei Optimierungsaufgaben ist der gesuchte größte oder kleinste Wert die $y$-Koordinate des Scheitels, die zugehörige Stelle seine $x$-Koordinate. Mit einer Nebenbedingung drückst du alles durch eine Variable aus. Prüfe am Ende, für welche $x$ das Modell sinnvoll ist.

Übungen

Grundlagen

1. Ein Ball fliegt nach $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ ($t$ in s, $h$ in m). Bringe die Funktion in die Scheitelpunktform. Wann ist der Ball am höchsten und wie hoch?
2. Zwei Zahlen haben die Summe 10. Ihr Produkt soll möglichst groß sein. Welche Zahlen sind es?
3. Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm. Welche Seitenlängen ergeben den größten Flächeninhalt?

Weiter

4. Ein Kugelstoß folgt $h(x) = -0{,}1(x - 4)^2 + 3{,}6$. Bestimme Abwurfhöhe, größte Höhe und Weite.
5. Für ein Gehege an einer Hauswand stehen 30 m Zaun zur Verfügung. Bestimme die Seitenlängen für die größte Fläche und die Fläche selbst.
6. Ein Brückenbogen hat die Form $y = -0{,}03x^2 + 12$ ($x$, $y$ in m, $x = 0$ in der Mitte). Wie breit ist der Bogen am Boden? Wie hoch ist er 10 m von der Mitte entfernt?

Knobeln

7. Ein Kino verlangt 8 € Eintritt und hat dann 300 Besucher am Abend. Erfahrungsgemäß kommen pro Euro Preiserhöhung 25 Besucher weniger. Bei welchem Preis sind die Einnahmen am größten? (Tipp: $E(x) = (8 + x)(300 - 25x)$ mit $x$ = Erhöhung in €.)
8. Die Funktion aus Aufgabe 1 liefert für $t = 5$ den Wert $h(5) = -24$. Was bedeutet das? Nenne zwei Gründe, warum ein echter Wurf vom Modell abweicht.

Lösungen

1. $h(t) = -5(t^2 - 4t) + 1 = -5\big((t - 2)^2 - 4\big) + 1 = -5(t - 2)^2 + 21$. Nach 2 s ist der Ball am höchsten, 21 m.
2. Zahlen $x$ und $10 - x$, Produkt $P(x) = x(10 - x)$. Nullstellen 0 und 10, Scheitel bei $x = 5$. Beide Zahlen sind 5, das Produkt ist 25.
3. Seiten $x$ und $20 - x$, $A(x) = x(20 - x)$. Nullstellen 0 und 20, Scheitel bei $x = 10$. Ein Quadrat mit 10 cm Seitenlänge, $A = 100\,\text{cm}^2$.
4. Abwurf: $h(0) = -0{,}1 \cdot 16 + 3{,}6 = 2$ m. Größte Höhe: 3,6 m bei $x = 4$ m. Weite: $(x - 4)^2 = 36$, $x - 4 = 6$, $x = 10$ m.
5. $A(x) = x(30 - 2x)$. Nullstellen 0 und 15, Scheitel bei $x = 7{,}5$. Die beiden Seiten, die von der Wand wegführen, sind je 7,5 m lang, parallele Seite $30 - 15 = 15$ m. $A = 7{,}5 \cdot 15 = 112{,}5\,\text{m}^2$.
6. Am Boden: $-0{,}03x^2 + 12 = 0$, $x^2 = 400$, $x = \pm 20$. Der Bogen ist 40 m breit. Bei $x = 10$: $y = -3 + 12 = 9$ m.
7. Nullstellen von $E$: $x = -8$ und $x = 12$. Scheitel in der Mitte bei $x = 2$. Preis 10 €, Besucher $300 - 50 = 250$, Einnahmen $10 \cdot 250 = 2500$ €. Zum Vergleich: bei 8 € sind es 2400 €.
8. Eine negative Höhe gibt es nicht: Der Ball liegt längst auf dem Boden. Das Modell gilt nur von $t = 0$ bis zur Landung (etwa $t \approx 4{,}05$ s). Abweichungen in Wirklichkeit: Luftwiderstand bremst den Ball, und der Ball springt beim Aufprall vielleicht noch einmal hoch.