Zum Inhalt springen
Illustration: eine Standseilbahn fährt auf einer schnurgeraden Strecke einen Hang hinauf.

Mathematik · Niedersachsen · Sek I

Lineare Funktionen

Eine Unterrichtsreihe zu linearen Funktionen für Klasse 8 nach dem niedersächsischen Kerncurriculum. Die Schülerinnen und Schüler erkennen lineare Zusammenhänge in Tabellen und Texten, deuten Steigung und y-Achsenabschnitt, zeichnen Geraden ohne Hilfsmittel, stellen Geradengleichungen auf und berechnen Nullstellen und Schnittpunkte. Interaktive Graphen mit Schiebereglern zeigen die Wirkung der Parameter.

Klassen
8
Schulformen
Gymnasium, Oberschule
Umfang
12 Unterrichtsstunden
Fach
Mathematik
Bundesland
Niedersachsen
Als Kurs übernehmen

Mit einem kostenlosen Konto übernehmen Sie die Vorlage als eigenen Kurs.

Lernziele

  • Die Schülerinnen und Schüler erkennen lineare Zusammenhänge in Sachtexten, Tabellen und Graphen und grenzen sie gegen nicht-lineare ab.
  • Sie bestimmen die Steigung mit dem Steigungsdreieck und aus zwei Punkten und deuten sie im Sachzusammenhang als konstante Änderungsrate.
  • Sie zeichnen Graphen linearer Funktionen hilfsmittelfrei und beschreiben, wie Steigung und y-Achsenabschnitt den Graphen verändern.
  • Sie stellen Funktionsgleichungen aus Steigung und Punkt, aus zwei Punkten und aus Sachsituationen auf.
  • Sie berechnen Nullstellen und Schnittpunkte, deuten sie im Sachzusammenhang und begründen die Anzahl der Schnittpunkte mit der Lage der Geraden.
  • Sie modellieren Sachsituationen mit linearen Funktionen und Ausgleichsgeraden und benennen die Grenzen des Modells.

Bezug zum Kerncurriculum

Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge 5–10 Mathematik (Niedersachsen 2015), Lernbereich „Lineare Zusammenhänge“ (Doppelschuljahrgang 7/8)

  • Inhaltsfeld: Funktionaler Zusammenhang
  • Kompetenzerwartung: identifizieren, beschreiben und erläutern proportionale, antiproportionale und lineare Zusammenhänge zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten.
  • Kompetenzerwartung: stellen proportionale und antiproportionale Zuordnungen sowie lineare Funktionen durch Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Gleichung, Tabelle, Graph.
  • Kompetenzerwartung: zeichnen Graphen linearer Funktionen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei
  • Kompetenzerwartung: interpretieren die Steigung linearer Funktionen im Sachzusammenhang als konstante Änderungsrate.
  • Kompetenzerwartung: beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen Funktionen hilfsmittelfrei und auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.
  • Kompetenzerwartung: lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen bzw. linearen Funktionen auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge.
  • Kompetenzerwartung: beschreiben den Zusammenhang zwischen der Lage von Graphen und der Lösbarkeit der zugehörigen linearen Gleichungen und Gleichungssysteme.

Ablauf

  1. Abschnitt 1

    Lineare Zusammenhänge erkennen

    Funktionsbegriff, proportionale und lineare Funktionen, konstante Zuwächse in Wertetabellen, Abgrenzung zu nicht-linearen Zusammenhängen.

  2. Abschnitt 2

    Steigung und Steigungsdreieck

    Steigung als Quotient aus Höhen- und Seitenschritt, Vorzeichen, Steigung aus zwei Punkten, Steigung als konstante Änderungsrate mit Einheit.

  3. Abschnitt 3

    y-Achsenabschnitt und Graph zeichnen

    Bedeutung von b, Wirkung von m und b am Graphen, Geraden zeichnen in drei Schritten, Punktprobe, parallele Geraden.

    • Lektion

      y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion zeichnen

      Beim Taxi aus der ersten Lektion kostete die Fahrt Euro. Die 2 kennst du jetzt: Sie ist die Steigung, also der Preis pro Kilometer. Aber was macht…

    • Material

      Aufgaben zu Steigung und y-Achsenabschnitt

      Serlo Education e. V., Lizenz: CC BY-SA 4.0

    • Aufgabe

      Geraden zeichnen ohne Wertetabelle

      Zeichne die folgenden Geraden in ein Koordinatensystem (x und y jeweils von −6 bis 6), ohne eine Wertetabelle zu benutzen:

      • y=2x−3y = 2x - 3
      • y=−13x+2y = -\frac{1}{3}x + 2
      • y=32xy = \frac{3}{2}x
      • y=−4y = -4

      Schreibe zu einer Geraden in Stichpunkten auf, wie du vorgegangen bist. Markiere bei einer Geraden das Steigungsdreieck farbig.

  4. Abschnitt 4

    Funktionsgleichung aufstellen

    Geradengleichung aus Steigung und Punkt, aus zwei Punkten und aus einer Zeichnung, Bedeutung von m und b in Sachaufgaben.

  5. Abschnitt 5

    Nullstellen und Schnittpunkte

    Nullstelle als Lösung von f(x) = 0, Gleichungen grafisch lösen, Schnittpunkt durch Gleichsetzen, Anzahl der Schnittpunkte und Lage der Geraden, Tarifvergleich.

    • Lektion

      Nullstellen und Schnittpunkte von Geraden berechnen

      Zwei Handytarife: Tarif A kostet 8 € im Monat und 10 Cent pro Minute. Tarif B kostet nur 3 € im Monat, aber 20 Cent pro Minute. Wer wenig…

    • Aufgabe

      Tarifvergleich

      Suche zwei echte Angebote, die man mit linearen Funktionen vergleichen kann (zum Beispiel Handytarife, Stromtarife, Leihräder, Fitnessstudios). Notiere die Preise mit Quelle.

      1. Stelle für beide Angebote eine Funktionsgleichung auf.
      2. Berechne den Schnittpunkt und zeichne beide Graphen.
      3. Schreibe eine Empfehlung: Für wen lohnt sich welches Angebot?

  6. Abschnitt 6

    Lineare Funktionen anwenden und typische Fehler

    Modellieren in fünf Schritten, Ausgleichsgeraden für Messwerte, Gültigkeitsbereich eines Modells, Fehlerliste und gemischte Übungen zur Sicherung.

    • Lektion

      Lineare Funktionen anwenden: Modelle, Ausgleichsgeraden und typische Fehler

      Mira misst eine Woche lang jeden zweiten Tag, wie hoch ihre Bohnenpflanze ist. Die Messwerte liegen nicht genau auf einer Geraden, aber fast. Kann…

    • Aufgabe

      Eigene Messreihe

      Führe eine kleine Messung durch, bei der du einen linearen Zusammenhang erwartest (zum Beispiel: Wasserhöhe in einem Glas beim Einfüllen mit einem Messbecher, Länge eines Gummibands mit Gewichten, Höhe eines Stapels von Büchern gleicher Dicke).

      1. Notiere mindestens fünf Messwerte in einer Tabelle.
      2. Trage sie in ein Koordinatensystem ein und zeichne eine Ausgleichsgerade.
      3. Bestimme ihre Gleichung und deute mm und bb.
      4. Nenne eine Grenze deines Modells.

Hinweise für Lehrkräfte

Zeitplan (etwa 12 Stunden)

AbschnittStundenSchwerpunkt
1 Lineare Zusammenhänge erkennen2Funktionsbegriff, konstante Zuwächse, Abgrenzung
2 Steigung2Steigungsdreieck, zwei Punkte, Änderungsrate
3 y-Achsenabschnitt und Zeichnen2Parametervariation, hilfsmittelfreies Zeichnen, Punktprobe
4 Funktionsgleichung aufstellen2Punkt und Steigung, zwei Punkte, Sachaufgaben
5 Nullstellen und Schnittpunkte2Gleichsetzen, Lage und Lösbarkeit, Tarifvergleich
6 Anwenden und Fehler2Modellieren, Ausgleichsgerade, Sicherung

Didaktische Hinweise

  • Das Kerncurriculum betont den Darstellungswechsel Sachtext, Tabelle, Graph, Gleichung. Jede Lektion wechselt mindestens zweimal die Darstellung. Lassen Sie Wertetabellen nicht als Pflichtschritt vor jedem Graphen zeichnen: Ziel ist das hilfsmittelfreie Zeichnen über (0∣b)(0 \mid b) und das Steigungsdreieck.
  • Die Steigung wird von Anfang an als konstante Änderungsrate mit Einheit eingeführt (€ pro km, Liter pro Minute). Das ist die Grundvorstellung, die später für die Ableitung trägt.
  • Die Graphen mit Schiebereglern (Lektionen 2 und 3) setzen die Parametervariation aus dem Kerncurriculum um. Lassen Sie zuerst Vermutungen formulieren („Was passiert, wenn b größer wird?“), dann prüfen.
  • Lektion 5 verbindet die Lage zweier Geraden mit der Lösbarkeit der Gleichung. Das bereitet lineare Gleichungssysteme vor, die im selben Lernbereich folgen (Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren).
  • Ausgleichsgeraden: Das Kerncurriculum verlangt das zeichnerische Finden und die Bestimmung mit Regressionsmodul oder Parametervariation. Lektion 6 nutzt beides.

Typische Fehlvorstellungen

  • mm und bb vertauscht, besonders bei Termen wie y=5−2xy = 5 - 2x, in denen der Achsenabschnitt vorne steht.
  • Steigung als ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y} oder Steigung 23\frac{2}{3} als „2 nach rechts, 3 nach oben“.
  • Vorzeichenfehler bei fallenden Geraden und bei Differenzen mit negativen Koordinaten.
  • Graph als Bild der Situation: Schülerinnen und Schüler deuten einen Weg-Zeit-Graphen als Landschaft („die Straße geht bergauf“). Fragen Sie konsequent nach der Bedeutung von xx und yy.
  • Proportional und linear gleichgesetzt: Jede proportionale Funktion ist linear, aber nicht umgekehrt. Der Quotient yx\frac{y}{x} ist nur bei b=0b = 0 konstant.
  • Modelle über den Gültigkeitsbereich hinaus (negative Kerzenhöhe, Feder bei 5 kg).

Differenzierung

  • Grundlagenaufgaben verwenden ganzzahlige Steigungen und Achsenabschnitte. Weiter-Aufgaben bringen Brüche, Dezimalzahlen und Sachkontexte.
  • Für schwächere Lernende: Kästchenpapier und Steigungsdreiecke mit Δx=1\Delta x = 1, Formulierungshilfe „Startwert plus Zuwachs mal Anzahl“.
  • Für stärkere Lernende: Knobelaufgaben (Geradenscharen und Büschel, Celsius und Fahrenheit, Dreiecke aus drei Geraden) und die Frage nach der Regressionsgeraden.
  • Im Hauptschulzweig der Oberschule liegt das Thema erst in 9/10. Dort reichen die Lektionen 1 bis 4 und der Tarifvergleich aus Lektion 5.

Prozessbezogene Kompetenzen

  • Modellieren: Tarife, Füllvorgänge und Messreihen mit linearen Funktionen beschreiben und Grenzen benennen.
  • Darstellen: Wechsel zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
  • Argumentieren: Linearität mit konstanten Zuwächsen begründen, Anzahl von Schnittpunkten mit Steigungen begründen.
  • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen: Gleichungen lösen, digitale Werkzeuge für Graphen und Regression nutzen.

Häufige Fragen

In welcher Klasse werden lineare Funktionen in Niedersachsen unterrichtet?

Am Gymnasium gehört der Lernbereich „Lineare Zusammenhänge“ zum Doppelschuljahrgang 7/8, meist liegt er in Klasse 8. Im Realschul-Kerncurriculum beginnt das Thema in 7/8 und wird in 9/10 vertieft, im Hauptschul-Kerncurriculum liegt es in 9/10.

Wie viele Stunden braucht die Reihe?

Etwa 12 Unterrichtsstunden. Lineare Gleichungssysteme mit Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren gehören zum selben Lernbereich, sind hier aber nur über den Schnittpunkt zweier Geraden vorbereitet und brauchen weitere 4 bis 6 Stunden.

Welche Schreibweise wird verwendet, b, n oder t?

Die Reihe schreibt f(x) = m·x + b. Einige Schulbücher nutzen n, bayerische Materialien und serlo.org nutzen t. Ein Hinweis im Kurs macht das für die Schülerinnen und Schüler sichtbar.

Werden digitale Werkzeuge eingesetzt?

Die Lektionen enthalten interaktive Graphen mit Schiebereglern für m und b. Für die Ausgleichsgerade in Lektion 6 bietet sich zusätzlich eine Tabellenkalkulation oder GeoGebra mit Regressionsfunktion an, wie es das Kerncurriculum vorsieht.

Quellen

Bildnachweise

  • Titelbild: KI-generiert
  • Koordinatensystem mit der Geraden y = 0,5x + 1. Ein kleines Steigungsdreieck geht 2 nach rechts und 1 nach oben, ein großes 4 nach rechts und 2 nach oben. Beide ergeben m = 0,5.: Eigene Darstellung

Die Vorlage in Ihrem Kurs

Als Kurs übernehmen

Mit einem kostenlosen Konto übernehmen Sie die Vorlage als eigenen Kurs.