Geradengleichung aufstellen aus Punkt und Steigung oder zwei Punkten

Einstieg

Eine Kerze brennt gleichmäßig ab. Nach 2 Stunden ist sie noch 16 cm hoch, nach 5 Stunden noch 10 cm. Wie hoch war sie am Anfang? Wann ist sie ganz abgebrannt? Um solche Fragen zu beantworten, brauchst du die Funktionsgleichung. Du hast aber nur zwei Messwerte. In dieser Lektion lernst du, wie du daraus $m$ und $b$ bestimmst.

Erklärung

Fall 1: Steigung und ein Punkt sind bekannt

Setze den Punkt $P(x_P \mid y_P)$ und die Steigung in $y = m \cdot x + b$ ein. Dann bleibt nur $b$ unbekannt und du löst nach $b$ auf:

$y_P = m \cdot x_P + b \quad\Longrightarrow\quad b = y_P - m \cdot x_P$

Fall 2: Zwei Punkte sind bekannt

1. Berechne die Steigung: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Setze einen der beiden Punkte ein und bestimme $b$ wie in Fall 1.
3. Probe mit dem anderen Punkt.

Fall 3: Die Gerade ist gezeichnet

Lies $b$ am Schnittpunkt mit der $y$-Achse ab. Suche dann zwei Punkte der Geraden, die genau auf Gitterpunkten liegen, und bestimme mit dem Steigungsdreieck $m$. Kannst du $b$ nicht genau ablesen, nimm zwei Gitterpunkte und rechne wie in Fall 2.

In Sachaufgaben

Überlege zuerst, was $x$ und was $y$ ist und welche Einheiten sie haben. Dann bekommen $m$ und $b$ eine Bedeutung: $m$ ist die Änderung pro Einheit, $b$ ist der Startwert bei $x = 0$.

Beispiele

Beispiel 1: Steigung und Punkt. $m = 3$, die Gerade geht durch $P(2 \mid 1)$.

$1 = 3 \cdot 2 + b$, also $1 = 6 + b$ und $b = -5$. Gleichung: $y = 3x - 5$.

Beispiel 2: Zwei Punkte. $A(1 \mid 4)$ und $B(5 \mid -4)$.

$m = \frac{-4 - 4}{5 - 1} = \frac{-8}{4} = -2$. Mit $A$: $4 = -2 \cdot 1 + b$, also $b = 6$. Gleichung: $y = -2x + 6$.

Probe mit $B$: $-2 \cdot 5 + 6 = -4$. Stimmt.

Beispiel 3: Die Kerze. $x$ = Zeit in Stunden, $y$ = Höhe in cm. Punkte $(2 \mid 16)$ und $(5 \mid 10)$.

$m = \frac{10 - 16}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2$. Die Kerze wird 2 cm pro Stunde kürzer.

$16 = -2 \cdot 2 + b$, also $b = 20$. Gleichung: $h(t) = -2t + 20$.

Die Kerze war am Anfang 20 cm hoch. Sie ist abgebrannt, wenn $-2t + 20 = 0$ ist, also nach 10 Stunden.

Beispiel 4: Aus der Zeichnung. Eine Gerade schneidet die $y$-Achse bei $-2$ und die $x$-Achse bei $4$. Steigungsdreieck von $(0 \mid -2)$ nach $(4 \mid 0)$: 4 nach rechts, 2 nach oben, $m = \frac{2}{4} = 0{,}5$. Gleichung: $y = 0{,}5x - 2$.

Merksatz

Aus zwei Punkten: erst $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ berechnen, dann einen Punkt in $y = m \cdot x + b$ einsetzen und nach $b$ auflösen. Mit dem zweiten Punkt die Probe machen.

Übungen

Grundlagen

1. Bestimme die Gleichung der Geraden: a) $m = 2$, durch $P(3 \mid 5)$; b) $m = -0{,}5$, durch $P(4 \mid 1)$.
2. Bestimme die Gleichung der Geraden durch a) $A(0 \mid 3)$ und $B(2 \mid 7)$, b) $A(1 \mid 1)$ und $B(3 \mid -3)$, c) $A(-2 \mid 0)$ und $B(4 \mid 3)$.
3. Die Gerade $g$ ist parallel zu $y = 4x - 1$ und geht durch $P(1 \mid 6)$. Gib ihre Gleichung an.

Weiter

4. Bei einem Handytarif kosten 10 Gesprächsminuten 7 € und 30 Minuten 11 €. Die Kosten wachsen linear. Bestimme die Funktionsgleichung. Was bedeuten $m$ und $b$? Was kosten 45 Minuten?
5. Am Boden ist es 15 °C warm. Pro 100 m Höhe sinkt die Temperatur um 0,65 °C. Gib die Temperatur $T$ in Abhängigkeit von der Höhe $h$ in Metern an. Wie warm ist es in 2000 m Höhe? In welcher Höhe sind es 0 °C?
6. Mia berechnet die Steigung der Geraden durch $(2 \mid 5)$ und $(4 \mid 9)$ so: $m = \frac{4 - 2}{9 - 5} = 0{,}5$. Erkläre den Fehler und rechne richtig.

Knobeln

7. Eine Gerade geht durch $P(2 \mid 3)$ und schneidet die $x$-Achse bei $x = 5$. Bestimme die Gleichung. Wie groß ist das Dreieck, das die Gerade mit den beiden Achsen einschließt?
8. Wasser gefriert bei 0 °C oder 32 °F und siedet bei 100 °C oder 212 °F. Stelle eine lineare Funktion auf, die Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnet. Bei welcher Temperatur zeigen beide Skalen dieselbe Zahl?

Lösungen

1. a) $5 = 2 \cdot 3 + b$, $b = -1$: $y = 2x - 1$. b) $1 = -0{,}5 \cdot 4 + b$, $b = 3$: $y = -0{,}5x + 3$.
2. a) $m = \frac{7 - 3}{2 - 0} = 2$, $b = 3$: $y = 2x + 3$. b) $m = \frac{-3 - 1}{3 - 1} = -2$, $1 = -2 + b$, $b = 3$: $y = -2x + 3$. c) $m = \frac{3 - 0}{4 - (-2)} = 0{,}5$, $0 = 0{,}5 \cdot (-2) + b$, $b = 1$: $y = 0{,}5x + 1$.
3. Gleiche Steigung $m = 4$. $6 = 4 \cdot 1 + b$, $b = 2$: $y = 4x + 2$.
4. $m = \frac{11 - 7}{30 - 10} = \frac{4}{20} = 0{,}2$. $7 = 0{,}2 \cdot 10 + b$, $b = 5$. $K(x) = 0{,}2x + 5$. $m$: 0,20 € pro Minute, $b$: 5 € Grundgebühr. 45 Minuten: $0{,}2 \cdot 45 + 5 = 14$ €.
5. Pro Meter sinkt die Temperatur um 0,0065 °C: $T(h) = 15 - 0{,}0065h$. In 2000 m: $15 - 13 = 2$ °C. 0 °C: $0{,}0065h = 15$, $h = 15 : 0{,}0065 \approx 2308$ m.
6. Mia hat die Differenzen der $x$-Werte durch die der $y$-Werte geteilt. Richtig: $m = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$.
7. Punkte $(2 \mid 3)$ und $(5 \mid 0)$: $m = \frac{0 - 3}{5 - 2} = -1$, $0 = -5 + b$, $b = 5$: $y = -x + 5$. Das Dreieck hat die Ecken $(0 \mid 0)$, $(5 \mid 0)$ und $(0 \mid 5)$. Fläche: $\frac{5 \cdot 5}{2} = 12{,}5$ Flächeneinheiten.
8. Punkte $(0 \mid 32)$ und $(100 \mid 212)$: $m = \frac{180}{100} = 1{,}8$, $b = 32$. $F(C) = 1{,}8C + 32$. Gleiche Zahl: $C = 1{,}8C + 32$, also $-0{,}8C = 32$ und $C = -40$. Bei $-40$ Grad zeigen beide Skalen dasselbe.