Lineare Funktionen anwenden: Modelle, Ausgleichsgeraden und typische Fehler

Einstieg

Mira misst eine Woche lang jeden zweiten Tag, wie hoch ihre Bohnenpflanze ist. Die Messwerte liegen nicht genau auf einer Geraden, aber fast. Kann sie trotzdem eine lineare Funktion benutzen, um vorherzusagen, wie hoch die Pflanze in zwei Wochen ist? In dieser Lektion geht es darum, wie man mit linearen Funktionen echte Situationen beschreibt, wo diese Beschreibung an Grenzen stößt und welche Fehler am häufigsten passieren.

Erklärung

Mit linearen Funktionen modellieren

1. Verstehen: Was ist $x$, was ist $y$? Welche Einheiten?
2. Annahme prüfen: Ändert sich $y$ gleichmäßig? Gibt es einen Startwert?
3. Funktion aufstellen: $m$ als Änderung pro Einheit, $b$ als Startwert.
4. Rechnen: Funktionswerte, Nullstellen, Schnittpunkte.
5. Deuten und prüfen: Ergibt das Ergebnis in der Situation Sinn? Für welche $x$-Werte gilt das Modell überhaupt?

Ausgleichsgeraden

Echte Messwerte streuen. Liegen sie ungefähr auf einer Geraden, zeichnet man eine Ausgleichsgerade: eine Gerade, die so durch die Punktwolke läuft, dass etwa gleich viele Punkte darüber und darunter liegen und die Abstände klein sind. Ein Tabellenkalkulations- oder Geometrieprogramm kann diese Gerade auch berechnen (lineare Regression).

Grenzen eines Modells

Ein lineares Modell gilt meist nur in einem bestimmten Bereich. Eine Pflanze wächst nicht ewig gleichmäßig weiter, eine Kerze kann nicht weniger als 0 cm hoch sein. Gib darum immer an, für welche $x$-Werte dein Modell sinnvoll ist.

Die häufigsten Fehler

Fehler	Beispiel	Richtig
$m$ und $b$ vertauscht	$y = 3x + 2$: Start bei $(0 \mid 3)$	Start bei $(0 \mid 2)$, Steigung 3
Reihenfolge im Term übersehen	$y = 5 - 2x$: „$m = 5$“	$m = -2$, $b = 5$
Steigung als $\frac{\Delta x}{\Delta y}$	2 nach rechts, 6 hoch: „$m = \frac{1}{3}$“	$m = \frac{6}{2} = 3$
Vorzeichen bei fallender Geraden vergessen	1 rechts, 2 runter: „$m = 2$“	$m = -2$
Steigung $\frac{2}{3}$ falsch gezeichnet	2 nach rechts, 3 nach oben	3 nach rechts, 2 nach oben
Modell über seinen Bereich hinaus benutzt	Kerze nach 15 h: „$-10$ cm“	Modell gilt nur bis zur Nullstelle

Beispiele

Beispiel 1: Ausgleichsgerade. Miras Messwerte:

Tag	0	2	4	6	8
Höhe in cm	2,0	3,1	4,2	4,9	6,1

Die Höhe wächst ungefähr um 1 cm in 2 Tagen, also etwa 0,5 cm pro Tag. Startwert etwa 2,1 cm. Ausgleichsgerade: $h(t) \approx 0{,}5t + 2{,}1$. (Eine Regression im Rechner liefert $h(t) = 0{,}5t + 2{,}06$.)

Vorhersage für Tag 14: $h(14) \approx 0{,}5 \cdot 14 + 2{,}1 = 9{,}1$ cm. Das ist eine Schätzung. Je weiter man über die Messwerte hinaus rechnet, desto unsicherer wird sie.

Beispiel 2: Tankinhalt. Ein Auto hat 45 Liter im Tank und verbraucht 6 Liter auf 100 km, also 0,06 Liter pro km. Tankinhalt nach $s$ km: $V(s) = 45 - 0{,}06s$.

Nullstelle: $0{,}06s = 45$, $s = 750$. Der Tank reicht für etwa 750 km. Das Modell gilt nur für $0 \le s \le 750$. In Wirklichkeit schwankt der Verbrauch, zum Beispiel in der Stadt und auf der Autobahn.

Merksatz

Beim Modellieren erst klären, was $x$ und $y$ bedeuten, dann $m$ als Änderungsrate und $b$ als Startwert bestimmen. Jedes Modell hat einen Gültigkeitsbereich. Streuende Messwerte beschreibst du mit einer Ausgleichsgeraden.

Übungen

Grundlagen

1. Eine Gerade geht durch $(0 \mid -2)$ und $(3 \mid 4)$. Gib die Gleichung und die Nullstelle an.
2. $f(x) = -3x + 6$: Gib $m$ und $b$ an, berechne die Nullstelle und prüfe, ob $P(1 \mid 3)$ auf dem Graphen liegt.
3. Berechne den Schnittpunkt von $y = 4x - 3$ und $y = 2x + 1$.

Weiter

4. Ein Aufzug startet in 60 m Höhe und fährt gleichmäßig mit 1,5 m pro Sekunde nach unten. Stelle eine Funktion für die Höhe auf. Wo ist der Aufzug nach 15 Sekunden? Wann ist er unten? Für welche Zeiten gilt das Modell?
5. An eine Feder werden Gewichte gehängt. Bei 0 g, 100 g, 200 g und 300 g misst man die Längen 5,0 cm, 7,1 cm, 8,9 cm und 11,0 cm. Bestimme eine passende Ausgleichsgerade. Wie lang ist die Feder ungefähr bei 250 g? Warum darf man das Modell nicht für 5 kg benutzen?
6. Finde in der Fehlertabelle oben zwei Fehler, die dir selbst schon passiert sind oder passieren könnten. Schreibe zu jedem eine eigene Beispielaufgabe mit richtiger Lösung.

Knobeln

7. Für welche $x$ ist $f(x) = 2x - 3$ größer als $g(x) = -x + 6$? Begründe auch mit einer Skizze.
8. Taxi A kostet 3,50 € Grundgebühr und 2,10 € pro km. Taxi B kostet 5 € Grundgebühr und 1,80 € pro km. Ab welcher Strecke ist Taxi B günstiger?

Lösungen

1. $m = \frac{4 - (-2)}{3 - 0} = 2$, $b = -2$: $y = 2x - 2$. Nullstelle: $2x - 2 = 0$, $x = 1$.
2. $m = -3$, $b = 6$. Nullstelle: $-3x + 6 = 0$, $x = 2$. Punktprobe: $f(1) = -3 + 6 = 3$. $P$ liegt auf dem Graphen.
3. $4x - 3 = 2x + 1$, $2x = 4$, $x = 2$, $y = 5$. $S(2 \mid 5)$.
4. $h(t) = 60 - 1{,}5t$ ($t$ in s, $h$ in m). Nach 15 s: $60 - 22{,}5 = 37{,}5$ m. Unten: $1{,}5t = 60$, $t = 40$ s. Das Modell gilt für $0 \le t \le 40$.
5. Pro 100 g wird die Feder etwa 2 cm länger, also $m \approx 0{,}02$ cm pro g. Startlänge etwa 5 cm. Ausgleichsgerade: $L(x) \approx 0{,}02x + 5$. Bei 250 g: $L \approx 0{,}02 \cdot 250 + 5 = 10$ cm. Bei 5 kg würde die Feder überdehnt oder reißen. Das Modell ist nur im gemessenen Bereich verlässlich.
6. Individuelle Lösung. Jede Beispielaufgabe soll den Fehler zeigen und richtig gelöst sein.
7. $2x - 3 > -x + 6 \;\Rightarrow\; 3x > 9 \;\Rightarrow\; x > 3$. In der Skizze liegt der Graph von $f$ rechts vom Schnittpunkt $(3 \mid 3)$ über dem von $g$.
8. A: $y = 2{,}1x + 3{,}5$, B: $y = 1{,}8x + 5$. Gleichsetzen: $0{,}3x = 1{,}5$, $x = 5$. Bei 5 km kosten beide 14 €. Für Strecken über 5 km ist Taxi B günstiger.