y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion zeichnen

Einstieg

Beim Taxi aus der ersten Lektion kostete die Fahrt $f(x) = 2x + 4$ Euro. Die 2 kennst du jetzt: Sie ist die Steigung, also der Preis pro Kilometer. Aber was macht die 4 mit dem Graphen? Und kannst du die Gerade zeichnen, ohne vorher eine lange Wertetabelle auszurechnen? Mit $m$ und $b$ geht das in drei Schritten.

Erklärung

Der y-Achsenabschnitt

In $f(x) = m \cdot x + b$ ist $b$ der Funktionswert an der Stelle 0: $f(0) = m \cdot 0 + b = b$. Der Graph schneidet die $y$-Achse also im Punkt $(0 \mid b)$. Darum heißt $b$ y-Achsenabschnitt. (In manchen Büchern heißt er $n$ oder $t$.)

• $m$ bestimmt, wie steil die Gerade ist. Ändert sich $m$, dreht sich die Gerade um den Punkt $(0 \mid b)$.
• $b$ bestimmt, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet. Ändert sich $b$, verschiebt sich die Gerade nach oben oder unten.

Probiere es mit beiden Reglern aus:

Eine Gerade zeichnen in drei Schritten

1. Markiere den Punkt $(0 \mid b)$ auf der $y$-Achse.
2. Gehe von dort mit dem Steigungsdreieck weiter. Schreibe $m$ als Bruch $\frac{\Delta y}{\Delta x}$: $\Delta x$ nach rechts, $\Delta y$ nach oben (bei negativem $m$ nach unten). Markiere den neuen Punkt.
3. Zeichne die Gerade durch beide Punkte. Zur Kontrolle setzt du das Steigungsdreieck noch einmal an.

Bei $m = \frac{2}{3}$ gehst du 3 nach rechts und 2 nach oben. Bei $m = 2$ ist $\Delta x = 1$, du gehst 1 nach rechts und 2 nach oben.

Liegt ein Punkt auf der Geraden?

Setze die $x$-Koordinate in den Term ein. Kommt die $y$-Koordinate heraus, liegt der Punkt auf der Geraden. Das heißt Punktprobe.

Parallele Geraden

Geraden mit gleicher Steigung sind parallel. Sie unterscheiden sich nur im y-Achsenabschnitt.

Beispiele

Beispiel 1: Bruch als Steigung. Zeichne $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$.

Start bei $(0 \mid -1)$. 3 nach rechts, 2 nach oben: $(3 \mid 1)$. Noch einmal: $(6 \mid 3)$. Gerade durch diese Punkte.

Beispiel 2: Fallende Gerade. Zeichne $g(x) = -2x + 3$.

Start bei $(0 \mid 3)$. 1 nach rechts, 2 nach unten: $(1 \mid 1)$. Noch einmal: $(2 \mid -1)$.

Beispiel 3: Punktprobe. $f(x) = 1{,}5x - 1$.

$P(4 \mid 5)$: $f(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 1 = 5$. $P$ liegt auf der Geraden.

$Q(2 \mid 3)$: $f(2) = 1{,}5 \cdot 2 - 1 = 2 \neq 3$. $Q$ liegt nicht auf der Geraden, sondern eine Einheit darüber.

Beispiel 4: Parallele. Gesucht ist die Gerade, die parallel zu $y = 3x - 2$ ist und durch $(0 \mid 4)$ geht. Gleiche Steigung, neuer Achsenabschnitt: $y = 3x + 4$.

Merksatz

Bei $f(x) = m \cdot x + b$ ist $b$ der y-Achsenabschnitt: Die Gerade schneidet die $y$-Achse in $(0 \mid b)$. Zeichnen: Punkt $(0 \mid b)$ markieren, Steigungsdreieck anlegen, Gerade ziehen. Gleiche Steigung bedeutet parallele Geraden.

Übungen

Grundlagen

1. Gib $m$ und $b$ an: a) $f(x) = 3x + 2$, b) $f(x) = -x + 5$, c) $f(x) = 0{,}5x$, d) $f(x) = 4 - 2x$, e) $f(x) = -3$.
2. Nenne jeweils drei Punkte, mit denen du die Gerade zeichnest: a) $y = 2x - 3$, b) $y = -\frac{1}{2}x + 2$, c) $y = \frac{3}{4}x$.
3. Prüfe, ob die Punkte auf der Geraden $f(x) = -2x + 7$ liegen: $A(3 \mid 1)$, $B(-1 \mid 8)$, $C(0{,}5 \mid 6)$.

Weiter

4. Welche Geraden sind parallel zueinander? $y = 2x + 1$; $\;y = 1 + 2x$; $\;y = -2x + 1$; $\;y = 2x - 5$; $\;y = 0{,}5x + 1$. Was fällt dir an den ersten beiden auf?
5. Beschreibe mithilfe der Regler oben: Was passiert mit der Geraden, wenn $b$ größer wird? Was passiert, wenn $m$ von 1 auf $-1$ wechselt?
6. Ben soll $y = 3x + 2$ zeichnen. Er startet bei $(0 \mid 3)$ und geht 1 nach rechts und 2 nach oben. Was hat er falsch gemacht?

Knobeln

7. Für welchen Wert von $b$ geht die Gerade $y = 2x + b$ durch den Punkt $P(3 \mid 1)$?
8. Zeichne die Geraden $y = x + b$ für $b = -2, -1, 0, 1, 2$ in ein Koordinatensystem. Zeichne in ein zweites die Geraden $y = m \cdot x + 1$ für $m = -2, -1, 0, 1, 2$. Beschreibe die beiden Bilder.

Lösungen

1. a) $m = 3$, $b = 2$. b) $m = -1$, $b = 5$. c) $m = 0{,}5$, $b = 0$. d) $m = -2$, $b = 4$ (Reihenfolge der Summanden ist egal). e) $m = 0$, $b = -3$: eine waagerechte Gerade.
2. a) $(0 \mid -3)$, $(1 \mid -1)$, $(2 \mid 1)$. b) $(0 \mid 2)$, $(2 \mid 1)$, $(4 \mid 0)$: 2 nach rechts, 1 nach unten. c) $(0 \mid 0)$, $(4 \mid 3)$, $(8 \mid 6)$: 4 nach rechts, 3 nach oben.
3. $A$: $-2 \cdot 3 + 7 = 1$, liegt auf der Geraden. $B$: $-2 \cdot (-1) + 7 = 9 \neq 8$, liegt nicht darauf. $C$: $-2 \cdot 0{,}5 + 7 = 6$, liegt darauf.
4. Parallel sind die Geraden mit $m = 2$: $y = 2x + 1$, $y = 1 + 2x$ und $y = 2x - 5$. Die ersten beiden sind sogar dieselbe Gerade, weil man die Summanden vertauschen darf.
5. Wird $b$ größer, verschiebt sich die Gerade nach oben, die Steigung bleibt. Wechselt $m$ von 1 auf $-1$, dreht sich die Gerade um den Punkt $(0 \mid b)$: Aus einer steigenden wird eine fallende Gerade, beide gleich steil.
6. Ben hat $m$ und $b$ vertauscht. Richtig: Start bei $(0 \mid 2)$, dann 1 nach rechts und 3 nach oben.
7. Punktprobe: $1 = 2 \cdot 3 + b$, also $1 = 6 + b$ und $b = -5$. Die Gerade ist $y = 2x - 5$.
8. Bild 1: fünf parallele Geraden mit Steigung 1, jeweils um 1 nach oben verschoben. Bild 2: fünf Geraden, die alle durch den Punkt $(0 \mid 1)$ gehen und sich dort wie ein Fächer drehen. $b$ verschiebt, $m$ dreht.