Nullstellen und Schnittpunkte von Geraden berechnen

Einstieg

Zwei Handytarife: Tarif A kostet 8 € im Monat und 10 Cent pro Minute. Tarif B kostet nur 3 € im Monat, aber 20 Cent pro Minute. Wer wenig telefoniert, fährt mit B besser, wer viel telefoniert, mit A. Aber wo genau liegt die Grenze? Die Antwort steckt im Schnittpunkt der beiden Geraden.

Erklärung

Nullstellen

Die Stelle, an der der Graph die $x$-Achse schneidet, heißt Nullstelle. Dort ist der Funktionswert 0. Du findest sie, indem du die Gleichung $f(x) = 0$ löst:

$m \cdot x + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{b}{m} \qquad (m \neq 0)$

Eine waagerechte Gerade ($m = 0$) hat keine Nullstelle, außer sie liegt auf der $x$-Achse.

Im Sachzusammenhang bedeutet die Nullstelle oft „etwas ist aufgebraucht“: Die Kerze ist abgebrannt, der Tank ist leer.

Gleichungen grafisch lösen

Die Gleichung $2x + 1 = 5$ kannst du auch zeichnerisch lösen: Zeichne die Gerade $y = 2x + 1$ und die waagerechte Gerade $y = 5$. Die $x$-Koordinate des Schnittpunkts ist die Lösung, hier $x = 2$.

Schnittpunkt zweier Geraden

Im Schnittpunkt haben beide Geraden denselben $x$-Wert und denselben $y$-Wert. Darum setzt du die beiden Terme gleich:

1. Terme gleichsetzen und nach $x$ auflösen.
2. $x$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um $y$ zu bekommen.
3. Probe mit der anderen Gleichung.

Wie viele Schnittpunkte?

Lage	Steigungen	Schnittpunkte
Geraden schneiden sich	verschieden	genau einer
Geraden sind parallel	gleich, $b$ verschieden	keiner
Geraden sind identisch	gleich, $b$ gleich	unendlich viele

Beim Gleichsetzen paralleler Geraden fällt $x$ heraus und es bleibt eine falsche Aussage wie $1 = -3$. Das zeigt: Es gibt keine Lösung.

Beispiele

Beispiel 1: Nullstelle. $f(x) = -0{,}5x + 4$.

$-0{,}5x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; -0{,}5x = -4 \;\Rightarrow\; x = 8$. Der Graph schneidet die $x$-Achse in $(8 \mid 0)$.

Beispiel 2: Schnittpunkt. $g(x) = 2x - 1$ und $h(x) = -x + 5$.

$2x - 1 = -x + 5 \;\Rightarrow\; 3x = 6 \;\Rightarrow\; x = 2$. $\;g(2) = 3$. Probe: $h(2) = -2 + 5 = 3$. Schnittpunkt $S(2 \mid 3)$.

Beispiel 3: Die Handytarife. $x$ = Minuten, $y$ = Kosten in €.

Tarif A: $y = 0{,}1x + 8$. Tarif B: $y = 0{,}2x + 3$.

$0{,}1x + 8 = 0{,}2x + 3 \;\Rightarrow\; 5 = 0{,}1x \;\Rightarrow\; x = 50$. Kosten: $0{,}1 \cdot 50 + 8 = 13$ €.

Bei 50 Minuten kosten beide Tarife 13 €. Darunter ist B günstiger, darüber A.

Beispiel 4: Parallele Geraden. $y = 2x + 1$ und $y = 2x - 3$.

$2x + 1 = 2x - 3 \;\Rightarrow\; 1 = -3$. Falsche Aussage, kein Schnittpunkt. Das passt: Beide Geraden haben die Steigung 2.

Merksatz

Nullstelle: $f(x) = 0$ lösen. Schnittpunkt: Terme gleichsetzen, $x$ berechnen, dann $y$ durch Einsetzen. Verschiedene Steigungen ergeben genau einen Schnittpunkt, gleiche Steigungen keinen oder unendlich viele.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne die Nullstelle: a) $f(x) = 2x - 8$, b) $f(x) = -3x + 9$, c) $f(x) = 0{,}25x + 2$, d) $f(x) = 5$.
2. Berechne den Schnittpunkt: a) $y = x + 2$ und $y = -x + 6$, b) $y = 3x - 4$ und $y = x + 2$, c) $y = 0{,}5x + 1$ und $y = 0{,}5x - 2$.
3. Löse die Gleichung $2x - 1 = 3$ zeichnerisch. Beschreibe dein Vorgehen.

Weiter

4. Fitnessstudio A kostet 50 € Aufnahmegebühr und 20 € im Monat. Studio B kostet 30 € im Monat ohne Aufnahmegebühr. Ab welchem Monat ist A günstiger?
5. Tank 1 enthält 200 Liter und verliert 8 Liter pro Minute. Tank 2 enthält 50 Liter und bekommt 7 Liter pro Minute dazu. Nach wie vielen Minuten ist in beiden gleich viel Wasser? Wie viel ist es dann?
6. Wie viele Schnittpunkte können zwei Geraden haben? Gib zu jedem Fall ein Beispiel mit Gleichungen an.

Knobeln

7. Gegeben sind $y = 2x + 1$ und $y = m \cdot x + 4$. a) Für welches $m$ gibt es keinen Schnittpunkt? b) Für welches $m$ schneiden sich die Geraden bei $x = 1$?
8. Die Geraden $y = x$, $\;y = -x + 6$ und $y = 1$ begrenzen ein Dreieck. Bestimme die drei Ecken und den Flächeninhalt.

Lösungen

1. a) $2x = 8$, $x = 4$. b) $-3x = -9$, $x = 3$. c) $0{,}25x = -2$, $x = -8$. d) Keine Nullstelle, die Gerade verläuft waagerecht bei $y = 5$.
2. a) $x + 2 = -x + 6$, $2x = 4$, $x = 2$, $y = 4$: $S(2 \mid 4)$. b) $3x - 4 = x + 2$, $2x = 6$, $x = 3$, $y = 5$: $S(3 \mid 5)$. c) Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: parallel, kein Schnittpunkt.
3. Zeichne $y = 2x - 1$ und die waagerechte Gerade $y = 3$. Sie schneiden sich bei $(2 \mid 3)$. Die Lösung ist $x = 2$. Probe: $2 \cdot 2 - 1 = 3$.
4. A: $y = 20x + 50$, B: $y = 30x$. $20x + 50 = 30x$ ergibt $x = 5$. Nach 5 Monaten kosten beide 150 €. Ab dem 6. Monat ist A günstiger (nach 6 Monaten: A 170 €, B 180 €).
5. $200 - 8t = 50 + 7t \;\Rightarrow\; 150 = 15t \;\Rightarrow\; t = 10$. Nach 10 Minuten sind in beiden Tanks $200 - 80 = 120$ Liter.
6. Genau einer: $y = x$ und $y = -x$ (Schnitt in $(0 \mid 0)$). Keiner: $y = x$ und $y = x + 1$. Unendlich viele: $y = 2x + 1$ und $y = 1 + 2x$.
7. a) Bei gleicher Steigung $m = 2$ (die Achsenabschnitte 1 und 4 sind verschieden). b) Bei $x = 1$ gilt $2 \cdot 1 + 1 = m \cdot 1 + 4$, also $3 = m + 4$ und $m = -1$.
8. $y = x$ und $y = -x + 6$: $x = 3$, Ecke $(3 \mid 3)$. $y = x$ und $y = 1$: Ecke $(1 \mid 1)$. $y = -x + 6$ und $y = 1$: $x = 5$, Ecke $(5 \mid 1)$. Grundseite auf $y = 1$ von $x = 1$ bis $x = 5$: Länge 4. Höhe: $3 - 1 = 2$. Fläche: $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ Flächeneinheiten.