Lineare Zusammenhänge erkennen: von der Zuordnung zur linearen Funktion

Einstieg

Ein Kilogramm Äpfel kostet 2 €. Eine Taxifahrt kostet 4 € Grundgebühr und dann 2 € pro Kilometer. In beiden Fällen kommen pro Einheit 2 € dazu. Trotzdem gibt es einen Unterschied: Für 0 kg Äpfel zahlst du nichts, für 0 km Taxi aber schon 4 €. Zuordnungen wie die Taxikosten heißen linear. Sie kommen im Alltag ständig vor: Handytarife, Kerzen, die abbrennen, Wasser, das in eine Wanne läuft.

Erklärung

Funktionen

Eine Zuordnung, bei der zu jedem Eingabewert $x$ genau ein Ausgabewert $y$ gehört, heißt Funktion. Den Ausgabewert nennt man Funktionswert und schreibt $f(x)$, gelesen „f von x“.

Beim Taxi ist $x$ die Strecke in km und $f(x)$ der Preis in €. Die Rechenvorschrift heißt Funktionsterm:

$f(x) = 2x + 4$

Für 3 km rechnest du $f(3) = 2 \cdot 3 + 4 = 10$. Die Fahrt kostet 10 €.

Proportional und linear

	Äpfel	Taxi
Term	$f(x) = 2x$	$g(x) = 2x + 4$
Wert bei $x = 0$	0	4
Zuwachs pro Einheit	immer 2	immer 2
Graph	Gerade durch den Ursprung	Gerade, um 4 nach oben verschoben
Name	proportional	linear

Eine lineare Funktion hat einen Term der Form $f(x) = m \cdot x + b$. Ihr Graph ist immer eine Gerade. Proportionale Funktionen ($b = 0$) sind ein Sonderfall der linearen.

Lineare Zusammenhänge in Tabellen erkennen

In einer Wertetabelle erkennst du eine lineare Funktion daran, dass gleiche Schritte bei $x$ immer gleiche Schritte bei $y$ ergeben.

$x$	0	1	2	3
$g(x)$	4	6	8	10

Jedes Mal +1 bei $x$ und +2 bei $y$. Der Zuwachs ist konstant, also ist $g$ linear.

Nicht linear ist zum Beispiel die Fläche eines Quadrats: Bei den Seitenlängen 1, 2, 3, 4 sind die Flächen 1, 4, 9, 16. Die Zuwächse 3, 5, 7 sind verschieden. Auch antiproportionale Zuordnungen sind nicht linear.

Beispiele

Beispiel 1: Ist die Zuordnung linear?

$x$	0	1	2	3
$y$	5	3,5	2	0,5

Die Zuwächse sind immer $-1{,}5$. Die Zuordnung ist linear: $y = -1{,}5x + 5$. Der Startwert bei $x = 0$ ist 5, pro Schritt kommen $-1{,}5$ dazu.

Beispiel 2: Funktionswerte berechnen. $f(x) = 3x - 2$

$f(4) = 3 \cdot 4 - 2 = 10$. $\quad f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -5$. $\quad f(0) = -2$.

Beispiel 3: Vom Text zum Term. Ein Schwimmbad verlangt 15 € für eine Jahreskarte und dann 1,50 € pro Besuch. Kosten bei $x$ Besuchen: $K(x) = 1{,}5x + 15$. Bei 20 Besuchen: $K(20) = 30 + 15 = 45$ €.

Merksatz

Eine Funktion ordnet jedem $x$ genau ein $y$ zu. Eine lineare Funktion hat den Term $f(x) = m \cdot x + b$, ihr Graph ist eine Gerade. In der Wertetabelle erkennst du sie an konstanten Zuwächsen. Ist $b = 0$, ist sie proportional.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne für $f(x) = 4x + 1$: $f(0)$, $f(2)$ und $f(-3)$.
2. Welche Tabellen gehören zu einer linearen Funktion? Begründe.
   • A: $x$: 0, 1, 2, 3; $\;y$: 2, 5, 8, 11
   • B: $x$: 0, 1, 2, 3; $\;y$: 1, 2, 4, 8
   • C: $x$: 0, 2, 4, 6; $\;y$: 10, 7, 4, 1
3. Eine Kerze ist 20 cm hoch und brennt pro Stunde 2 cm ab. Lege eine Wertetabelle für 0 bis 5 Stunden an und gib einen Term für die Höhe $h(t)$ nach $t$ Stunden an.

Weiter

4. Ist die Zuordnung linear, proportional oder keins von beiden? a) Seitenlänge eines Quadrats → Umfang, b) Seitenlänge eines Quadrats → Flächeninhalt, c) Anzahl gleich schneller Arbeiter → Arbeitszeit.
5. Streamingdienst A kostet 9 € im Monat. Dienst B kostet 4 € Anmeldegebühr und dann 8 € im Monat. Gib für beide einen Term für die Kosten nach $x$ Monaten an. Welcher Dienst ist nach 3 Monaten günstiger, welcher nach 5 Monaten?
6. Eine lineare Funktion hat $f(1) = 7$ und $f(3) = 11$. Bestimme $f(0)$, $f(2)$ und $f(5)$.

Knobeln

7. Mit Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt: Für 1 Quadrat braucht man 4 Hölzer, für 2 Quadrate 7, für 3 Quadrate 10. Gib einen Term an. Wie viele Hölzer braucht man für 50 Quadrate? Wie viele Quadrate kann man mit 100 Hölzern legen?
8. Ist jede Gerade im Koordinatensystem der Graph einer Funktion? Denke an eine senkrechte Gerade.

Lösungen

1. $f(0) = 1$, $\;f(2) = 9$, $\;f(-3) = -12 + 1 = -11$.
2. A ist linear (Zuwachs immer 3). B ist nicht linear (Zuwächse 1, 2, 4, die Werte verdoppeln sich). C ist linear: Bei jedem Schritt von 2 nimmt $y$ um 3 ab, also um 1,5 pro Einheit.
3. Wertetabelle: $t$ = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Stunden ergibt $h$ = 20, 18, 16, 14, 12, 10 cm. Term: $h(t) = 20 - 2t$, also $m = -2$ und $b = 20$.
4. a) $U = 4a$: proportional (und damit auch linear). b) $A = a^2$: weder noch. c) Antiproportional, nicht linear.
5. A: $K_A(x) = 9x$. B: $K_B(x) = 8x + 4$. Nach 3 Monaten: A 27 €, B 28 €, A ist günstiger. Nach 5 Monaten: A 45 €, B 44 €, B ist günstiger.
6. Von $x = 1$ bis $x = 3$ steigt $f$ um 4, also um 2 pro Einheit. $f(0) = 7 - 2 = 5$, $\;f(2) = 9$, $\;f(5) = 11 + 2 \cdot 2 = 15$. Der Term ist $f(x) = 2x + 5$.
7. Pro Quadrat kommen 3 Hölzer dazu, am Anfang steht 1 Holz extra: $s(n) = 3n + 1$. Für 50 Quadrate: $s(50) = 151$. Mit 100 Hölzern: $3n + 1 = 100$ ergibt $n = 33$. Man kann 33 Quadrate legen.
8. Nein. Eine senkrechte Gerade, zum Beispiel durch alle Punkte mit $x = 3$, ordnet dem Wert $x = 3$ unendlich viele $y$-Werte zu. Dann ist es keine Funktion. Alle anderen Geraden sind Graphen linearer Funktionen.