Steigung berechnen mit dem Steigungsdreieck

Einstieg

Auf einem Verkehrsschild an einer Bergstraße steht „12 %“. Das bedeutet: Auf 100 m waagerechter Strecke geht es 12 m nach oben. Eine Straße mit 20 % ist steiler, eine mit 5 % flacher. Genau so beschreibt man auch, wie steil eine Gerade im Koordinatensystem ist. Die Zahl dafür heißt Steigung und hat den Buchstaben $m$.

Erklärung

Das Steigungsdreieck

Gehe von einem Punkt der Geraden ein Stück nach rechts und dann senkrecht nach oben oder unten, bis du wieder auf der Geraden bist. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, das Steigungsdreieck.

• Der Schritt nach rechts heißt $\Delta x$ (gelesen „Delta x“, die Änderung von $x$).
• Der Schritt nach oben oder unten heißt $\Delta y$. Nach unten zählt er negativ.

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{Schritt nach oben (oder unten)}}{\text{Schritt nach rechts}}$

Gehst du genau 1 nach rechts, kannst du $m$ direkt ablesen: Dann ist $\Delta y = m$.

Bei einer Geraden ist es egal, wie groß du das Steigungsdreieck zeichnest. Gehst du doppelt so weit nach rechts, geht es auch doppelt so weit nach oben. Der Quotient bleibt gleich.

Probiere es aus: Ziehe am Regler und beobachte, wie sich die Gerade und die Punkte des Steigungsdreiecks mit 1 Schritt nach rechts ändern.

Was das Vorzeichen bedeutet

Steigung	Verlauf von links nach rechts
$m > 0$	Die Gerade steigt.
$m < 0$	Die Gerade fällt.
$m = 0$	Die Gerade verläuft waagerecht.

Je größer der Betrag von $m$ (die Zahl ohne Vorzeichen), desto steiler ist die Gerade. $m = -3$ ist also steiler als $m = 2$.

Steigung aus zwei Punkten

Kennst du zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ der Geraden, berechnest du:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Steigung als Änderungsrate

In Sachaufgaben hat die Steigung eine Einheit, zum Beispiel € pro km, Liter pro Minute oder cm pro Stunde. Sie gibt an, um wie viel sich $y$ ändert, wenn $x$ um 1 zunimmt. Bei linearen Funktionen ist diese Änderungsrate konstant.

Beispiele

Beispiel 1: Steigende Gerade. Die Gerade geht durch $A(1 \mid 2)$ und $B(4 \mid 8)$.

$m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$. Pro Schritt nach rechts geht es 2 nach oben.

Beispiel 2: Fallende Gerade. Die Gerade geht durch $A(-2 \mid 5)$ und $B(2 \mid -1)$.

$m = \frac{-1 - 5}{2 - (-2)} = \frac{-6}{4} = -1{,}5$. Die Gerade fällt.

Beispiel 3: Änderungsrate. In eine Badewanne läuft Wasser. Nach 2 Minuten sind 30 Liter drin, nach 6 Minuten 90 Liter.

$m = \frac{90\,\ell - 30\,\ell}{6\,\text{min} - 2\,\text{min}} = \frac{60\,\ell}{4\,\text{min}} = 15\,\frac{\ell}{\text{min}}$. Es fließen 15 Liter pro Minute.

Beispiel 4: Straßenschild. 12 % Steigung heißt $m = 0{,}12$. Auf 250 m waagerechter Strecke steigt die Straße um $0{,}12 \cdot 250\,\text{m} = 30\,\text{m}$.

Merksatz

Die Steigung $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ gibt an, um wie viel $y$ zunimmt, wenn $x$ um 1 zunimmt. Bei $m > 0$ steigt die Gerade, bei $m < 0$ fällt sie. Aus zwei Punkten: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne die Steigung der Geraden durch a) $P(0 \mid 1)$ und $Q(2 \mid 7)$, b) $P(1 \mid 5)$ und $Q(3 \mid 1)$, c) $P(-1 \mid 2)$ und $Q(3 \mid 4)$.
2. Ein Steigungsdreieck geht 4 nach rechts und 2 nach unten. Wie groß ist $m$?
3. Ordne die Geraden mit $m = 0{,}5$, $m = -3$, $m = 2$ und $m = -1$ nach ihrer Steilheit. Welche fallen?

Weiter

4. Ein Handy-Akku zeigt um 8 Uhr 90 % und um 11 Uhr 60 %. Berechne die Änderungsrate pro Stunde. Wann ist der Akku leer, wenn er gleichmäßig weiter entlädt?
5. Lena zeichnet ein Steigungsdreieck mit 3 Kästchen nach rechts und 1 Kästchen nach oben und schreibt $m = 3$. Finde den Fehler.
6. Eine Straße hat 8 % Steigung. Wie viel Höhe gewinnt man auf 1,5 km waagerechter Strecke?

Knobeln

7. Liegen die Punkte $A(0 \mid 1)$, $B(2 \mid 4)$ und $C(6 \mid 10)$ auf einer Geraden? Begründe mit Steigungen.
8. Zeichne zu einer Geraden zwei verschieden große Steigungsdreiecke. Erkläre, warum beide dieselbe Steigung ergeben.

Lösungen

1. a) $m = \frac{7 - 1}{2 - 0} = 3$. b) $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = -2$. c) $m = \frac{4 - 2}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = 0{,}5$.
2. $m = \frac{-2}{4} = -0{,}5$.
3. Nach dem Betrag: $0{,}5 < 1 < 2 < 3$. Von flach nach steil: $m = 0{,}5$, $m = -1$, $m = 2$, $m = -3$. Fallend sind die Geraden mit $m = -1$ und $m = -3$.
4. $m = \frac{60 - 90}{11 - 8} = \frac{-30}{3} = -10$ Prozentpunkte pro Stunde. Für die restlichen 60 % braucht er 6 Stunden, also ist er um 17 Uhr leer.
5. Lena hat Zähler und Nenner vertauscht. Richtig ist $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{3}$.
6. $0{,}08 \cdot 1500\,\text{m} = 120\,\text{m}$.
7. Steigung von $A$ nach $B$: $\frac{4 - 1}{2 - 0} = 1{,}5$. Von $B$ nach $C$: $\frac{10 - 4}{6 - 2} = 1{,}5$. Beide Steigungen sind gleich, und $B$ liegt auf beiden Strecken. Also liegen alle drei Punkte auf einer Geraden.
8. Bei einer Geraden kommt pro Schritt nach rechts immer derselbe Zuwachs dazu. Wer doppelt so weit nach rechts geht, geht deshalb auch doppelt so weit nach oben. Der Quotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ bleibt gleich.