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Illustration: eine Holzleiter lehnt an einer Ziegelwand. Leiter, Wand und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Mathematik · Niedersachsen · Sek I

Satz des Pythagoras

Eine Unterrichtsreihe zum Satz des Pythagoras für Klasse 9 nach dem niedersächsischen Kerncurriculum. Sie beginnt mit Katheten, Hypotenuse und dem Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens, beweist den Satz mit dem Ergänzungsbeweis und übt das Berechnen von Hypotenuse und Katheten. Danach folgen die Umkehrung, Anwendungen in Figuren, im Koordinatensystem und in Körpern sowie typische Fehler.

Klassen
9
Schulformen
Gymnasium, Oberschule
Umfang
10 Unterrichtsstunden
Fach
Mathematik
Bundesland
Niedersachsen
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Lernziele

  • Die Schülerinnen und Schüler benennen Katheten und Hypotenuse in beliebig beschrifteten rechtwinkligen Dreiecken.
  • Sie ziehen Quadratwurzeln im Kopf, schätzen Wurzeln ab und nutzen das Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens.
  • Sie begründen den Satz des Pythagoras mit einem Ergänzungsbeweis, auch algebraisch mit der binomischen Formel.
  • Sie berechnen fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken, in ebenen Figuren, im Koordinatensystem und in Körpern.
  • Sie prüfen mit der Umkehrung des Satzes, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, und unterscheiden Satz und Umkehrung.
  • Sie lösen Sachaufgaben mit Skizze und erkennen typische Fehler.

Bezug zum Kerncurriculum

Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge 5–10 Mathematik (Niedersachsen 2015), Lernbereich „Entdeckungen an rechtwinkligen Dreiecken und Ähnlichkeit“ (Doppelschuljahrgang 9/10)

  • Inhaltsfeld: Größen und Messen
  • Inhaltsfeld: Raum und Form
  • Kompetenzerwartung: berechnen Streckenlängen mithilfe des Satzes von Pythagoras.
  • Kompetenzerwartung: begründen die Satzgruppe des Pythagoras sowie Sinussatz und Kosinussatz.
  • Kompetenzerwartung: nutzen die Satzgruppe des Pythagoras bei Konstruktionen und Begründungen.
  • Kompetenzerwartung: ziehen in einfachen Fällen Wurzeln aus nicht-negativen rationalen Zahlen im Kopf

Ablauf

  1. Abschnitt 1

    Rechtwinklige Dreiecke und Quadratwurzeln

    Katheten und Hypotenuse bei beliebiger Beschriftung, Quadratwurzel als Umkehrung des Quadrierens, Wurzeln schätzen, Wurzel einer Summe.

    • Lektion

      Katheten, Hypotenuse und Quadratwurzeln

      Quer über eine rechteckige Wiese von 40 m mal 30 m führt ein Trampelpfad von einer Ecke zur gegenüberliegenden. Offensichtlich ist der Weg kürzer…

    • Tipp

      Lerne die Quadratzahlen bis 20 · 20 = 400 auswendig. Dann erkennst du viele Ergebnisse beim Satz des Pythagoras sofort.

  2. Abschnitt 2

    Satz des Pythagoras entdecken und beweisen

    Entdeckung an Kästchenquadraten, Formulierung mit Flächen und Buchstaben, Ergänzungsbeweis geometrisch und mit der binomischen Formel, nicht rechtwinklige Dreiecke.

    • Lektion

      Satz des Pythagoras: entdecken und beweisen

      Zeichne auf Kästchenpapier ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm. Miss die Hypotenuse. Du erhältst 5 cm. Zeichne nun über jede…

    • Material

      Puzzle zum Pythagoras (interaktiv)

      GeoGebra, Lizenz: GeoGebra-Lizenz (nicht kommerziell), nur verlinkt

    • Aufgabe

      Beweis zum Nachbauen

      Schneide aus Papier vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten 3 cm und 7 cm aus. Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm.

      1. Lege die Dreiecke wie in Anordnung 1 und wie in Anordnung 2 in das Quadrat. Fotografiere oder skizziere beide Lagen.
      2. Berechne für beide Anordnungen die freie Fläche.
      3. Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum das ein Beweis für alle rechtwinkligen Dreiecke ist und nicht nur für dieses eine.

  3. Abschnitt 3

    Hypotenuse und Kathete berechnen

    Formeln für Hypotenuse und Kathete, Vorgehen in fünf Schritten, Sachaufgaben mit Leiter, Drachen und Bildschirm, Plausibilitätsprüfung.

  4. Abschnitt 4

    Rechte Winkel prüfen: die Umkehrung

    Umkehrung des Satzes, Unterschied zwischen Satz und Umkehrung, spitz, recht oder stumpf entscheiden, pythagoreische Tripel, rechte Winkel auf der Baustelle.

    • Lektion

      Umkehrung des Satzes des Pythagoras: rechte Winkel prüfen

      Eine Gartenbaufirma legt ein rechteckiges Beet an. Ein Geodreieck ist für so große Flächen viel zu klein. Trotzdem werden die Ecken genau…

    • Aufgabe

      Rechte Winkel im Schulgebäude

      Prüfe mit einem Maßband und der Umkehrung des Satzes des Pythagoras zwei Ecken in der Schule (zum Beispiel eine Tischecke und eine Zimmerecke).

      1. Miss an beiden Seiten einer Ecke Strecken ab, die zu einem pythagoreischen Tripel passen (zum Beispiel 30 cm und 40 cm).
      2. Miss die Verbindung und vergleiche mit dem erwarteten Wert.
      3. Entscheide, ob der Winkel ein rechter, ein spitzer oder ein stumpfer ist, und begründe.

  5. Abschnitt 5

    Pythagoras in Figuren und Körpern

    Diagonalen in Rechteck und Quadrat, Höhen in gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken, Abstand zweier Punkte, Raumdiagonale im Quader, Pyramidenhöhe.

  6. Abschnitt 6

    Anwendungen und typische Fehler

    Sachaufgaben in fünf Schritten, Rollstuhlrampe, Fehlertabelle, gemischte Übungen zur Sicherung.

    • Lektion

      Satz des Pythagoras: Anwendungsaufgaben und typische Fehler

      Vor dem Eingang einer Schule sind drei Stufen, zusammen 50 cm hoch. Damit Menschen im Rollstuhl hineinkommen, soll eine Rampe gebaut werden. Eine…

    • Material

      Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras

      Serlo Education e. V., Lizenz: CC BY-SA 4.0

    • Aufgabe

      Pythagoras in meiner Umgebung

      Finde in deiner Umgebung eine Strecke, die man schlecht messen, aber mit dem Satz des Pythagoras berechnen kann (zum Beispiel die Diagonale eines Raums, die Länge eines Treppengeländers, die Höhe einer Rutsche).

      1. Zeichne eine Skizze mit allen gemessenen Längen.
      2. Berechne die gesuchte Strecke.
      3. Miss, wenn möglich, zur Kontrolle nach und erkläre eine mögliche Abweichung.

Hinweise für Lehrkräfte

Zeitplan (etwa 10 Stunden)

AbschnittStundenSchwerpunkt
1 Rechtwinklige Dreiecke und Wurzeln1Fachbegriffe, Wurzel als Umkehrung, Schätzen
2 Entdecken und Beweisen2Kästchenquadrate, Ergänzungsbeweis, Termbeweis
3 Hypotenuse und Kathete2beide Formeln, Vorgehen, Sachaufgaben
4 Umkehrung1Satz und Umkehrung, Tripel, Baustellenpraxis
5 Figuren und Körper2Hilfslinien, Abstand im Koordinatensystem, Raumdiagonale
6 Anwendungen und Fehler2Sachaufgaben, Fehlertabelle, Sicherung

Am Gymnasium kommen für Kathetensatz und Höhensatz ein bis zwei Stunden dazu (Satzgruppe des Pythagoras im Kerncurriculum).

Didaktische Hinweise

  • Das Kerncurriculum ordnet das Wurzelziehen „als Umkehroperation des Quadrierens“ diesem Lernbereich zu und verlangt, mit Quadratwurzeln zu rechnen, „ohne deren Irrationalität zu thematisieren“. Lektion 1 hält sich daran: 2\sqrt{2} wird nur eingegrenzt (Knobelaufgabe 7), die Irrationalität folgt im Lernbereich „Näherungsverfahren als Grenzprozesse“.
  • Vertieftes Argumentieren und die Frage der Umkehrbarkeit sind ausdrücklich Ziel. Lektion 2 (Beweis) und Lektion 4 (Satz und Umkehrung als zwei Wenn-dann-Aussagen) nehmen das auf. Lassen Sie den Ergänzungsbeweis mit Papierdreiecken nachbauen (Aufgabe in Abschnitt 2), bevor der Termbeweis kommt.
  • Formulieren Sie den Satz konsequent in Worten (Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²). Das verhindert, dass a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 als Buchstabenformel auswendig gelernt und bei anderer Beschriftung falsch angewendet wird.
  • Die Rollstuhlrampe in Lektion 6 bietet einen Anlass zum Gespräch über Barrierefreiheit (6 % ist die Höchststeigung nach DIN 18040). Die Norm verlangt außerdem spätestens nach 6 m Rampenlänge ein Zwischenpodest, eine durchgehende Rampe von 8,35 m wäre also nicht zulässig. Das steht auch in der Lektion.

Typische Fehlvorstellungen

  • „cc ist immer die Hypotenuse“: Bei anderer Lage des rechten Winkels wird falsch eingesetzt. Gegenmittel: Hypotenuse vor jeder Rechnung farbig markieren.
  • Addieren statt Subtrahieren bei gesuchter Kathete. Plausibilitätscheck: Eine Kathete kann nicht länger als die Hypotenuse sein.
  • Rechnen mit Längen statt mit Quadraten (a=c−ba = c - b).
  • a2+b2=a+b\sqrt{a^2 + b^2} = a + b: Übertragung der Rechenregeln für Produkte auf Summen.
  • Satz auf beliebige Dreiecke angewendet. Lektion 2 und 4 zeigen, was bei spitzen und stumpfen Winkeln passiert.
  • Satz und Umkehrung verwechselt beim Begründen: „Das Dreieck ist rechtwinklig, weil der Satz des Pythagoras gilt“ verwendet eigentlich die Umkehrung.
  • Zu frühes Runden bei mehrschrittigen Aufgaben (Raumdiagonale, Rampe).

Differenzierung

  • Grundlagenaufgaben arbeiten mit pythagoreischen Tripeln, sodass die Wurzeln aufgehen und der Rechenweg im Vordergrund steht.
  • Weiter-Aufgaben verlangen Skizzen zu Sachtexten und Wurzeln mit Taschenrechner.
  • Knobelaufgaben: Tripel-Formel, Kathete der Länge 1, Sichtweite zum Horizont, Pyramidenhöhe.
  • Für die Oberschule (Realschul- und Hauptschul-Kerncurriculum) genügt in Lektion 2 der anschauliche Ergänzungsbeweis. Der Termbeweis mit binomischer Formel ist dort optional.

Prozessbezogene Kompetenzen

  • Argumentieren: Ergänzungsbeweis führen, Satz und Umkehrung unterscheiden, Fehler begründen.
  • Probleme lösen: Hilfslinien einzeichnen, rechtwinklige Dreiecke in Figuren und Körpern finden, Aufgaben in Teilschritte zerlegen (Raumdiagonale).
  • Modellieren: Leiter, Rampe, Drachen, Bildschirm, Baustelle.
  • Darstellen: Skizzen zu Sachaufgaben, Quadrate über Dreiecksseiten.

Häufige Fragen

In welcher Klasse wird der Satz des Pythagoras in Niedersachsen unterrichtet?

Am Gymnasium im Doppelschuljahrgang 9/10, Lernbereich „Entdeckungen an rechtwinkligen Dreiecken und Ähnlichkeit“, meist in Klasse 9. Auch in den Kerncurricula der Haupt- und Realschule, nach denen die Oberschule ab Jahrgang 7 unterrichtet, liegt er in 9/10.

Sind Kathetensatz und Höhensatz enthalten?

Nicht als eigene Lektion. Am Gymnasium verlangt das Kerncurriculum die ganze Satzgruppe des Pythagoras. Planen Sie dafür ein bis zwei zusätzliche Stunden ein, ein Link in Abschnitt 5 führt zu passendem Material. An der Realschule ist die Satzgruppe eine weiterführende Anforderung.

Wie viele Stunden braucht die Reihe?

Etwa 10 Unterrichtsstunden. Mit Kathetensatz und Höhensatz sind es 11 bis 12 Stunden.

Müssen die Schülerinnen und Schüler die binomischen Formeln kennen?

Für den algebraischen Beweis in Lektion 2 ja. Sie gehören am Gymnasium zu 7/8. Der geometrische Ergänzungsbeweis kommt ohne sie aus.

Quellen

Bildnachweise

  • Titelbild: KI-generiert
  • Rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei A. Die Seiten b und c am rechten Winkel sind als Katheten markiert, die gegenüberliegende Seite a als Hypotenuse.: Eigene Darstellung
  • Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 4 und 3 und der Hypotenuse 5. Über jeder Seite steht ein Quadrat aus Kästchen: a² = 16, b² = 9 und c² = 25. Es gilt 16 + 9 = 25.: Eigene Darstellung
  • Zwei gleich große Quadrate mit der Seite a + b. Links liegen vier rechtwinklige Dreiecke in den Ecken, frei bleibt ein schräges Quadrat c². Rechts bilden die Dreiecke zwei Rechtecke, frei bleiben die Quadrate a² und b².: Eigene Darstellung

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