Umkehrung des Satzes des Pythagoras: rechte Winkel prüfen

Einstieg

Eine Gartenbaufirma legt ein rechteckiges Beet an. Ein Geodreieck ist für so große Flächen viel zu klein. Trotzdem werden die Ecken genau rechtwinklig. Der Trick: Man misst an der Ecke 3 m an der einen Seite und 4 m an der anderen ab. Dann misst man die Verbindung der beiden Punkte. Sind es genau 5 m, ist der Winkel ein rechter. Warum funktioniert das?

Erklärung

Satz und Umkehrung

Der Satz des Pythagoras sagt: Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann gilt $a^2 + b^2 = c^2$.

Die Umkehrung dreht die Richtung um: Wenn in einem Dreieck $a^2 + b^2 = c^2$ gilt, dann hat es einen rechten Winkel, und zwar gegenüber der Seite $c$.

Satz und Umkehrung sind zwei verschiedene Aussagen. Aus „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ folgt nicht „Wenn die Straße nass ist, regnet es“. Beim Satz des Pythagoras ist aber auch die Umkehrung wahr. Darum kannst du mit Längen prüfen, ob ein Winkel ein rechter ist.

So prüfst du

1. Nimm die längste Seite als $c$.
2. Berechne $a^2 + b^2$ und $c^2$.
3. Vergleiche:

Ergebnis	Winkel gegenüber $c$
$a^2 + b^2 = c^2$	rechter Winkel
$a^2 + b^2 > c^2$	spitzer Winkel
$a^2 + b^2 < c^2$	stumpfer Winkel

Pythagoreische Zahlentripel

Drei natürliche Zahlen $a$, $b$, $c$ mit $a^2 + b^2 = c^2$ heißen pythagoreisches Tripel. Die bekanntesten sind:

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder ein Tripel: (6, 8, 10), (30, 40, 50) oder (60 cm, 80 cm, 100 cm). Handwerkerinnen und Handwerker nutzen das, um auf Baustellen rechte Winkel abzustecken.

Beispiele

Beispiel 1: Rechtwinklig. Ein Dreieck hat die Seiten 9 cm, 12 cm und 15 cm.

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Das Dreieck ist rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt der 15-cm-Seite gegenüber.

Beispiel 2: Nicht rechtwinklig. Ein Dreieck hat die Seiten 7 cm, 8 cm und 11 cm.

$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$, aber $11^2 = 121$. Da $113 < 121$, ist der Winkel gegenüber der 11-cm-Seite stumpf.

Beispiel 3: Auf der Baustelle. Ein Fliesenleger misst an einer Raumecke 60 cm an der einen Wand und 80 cm an der anderen ab. Die Verbindung misst 102 cm.

Bei einem rechten Winkel müssten es $\sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{10\,000} = 100$ cm sein. Die 102 cm sind zu lang. Die Wände bilden einen Winkel, der etwas größer als $90^\circ$ ist.

Merksatz

Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Gilt in einem Dreieck $a^2 + b^2 = c^2$, dann ist der Winkel gegenüber von $c$ ein rechter. Zum Prüfen immer die längste Seite als $c$ nehmen.

Übungen

Grundlagen

1. Prüfe, ob die Dreiecke rechtwinklig sind: a) 6 cm, 8 cm, 10 cm; b) 5 cm, 6 cm, 8 cm; c) 20 m, 21 m, 29 m; d) 1,5 m, 2 m, 2,5 m.
2. Ist (12, 16, 20) ein pythagoreisches Tripel? Von welchem bekannten Tripel ist es ein Vielfaches?
3. Eine Schnur ist durch Knoten in 12 gleich lange Stücke geteilt und zu einer Schlaufe geschlossen. Wie musst du sie spannen, damit ein rechter Winkel entsteht?

Weiter

4. Ein Raum soll 4 m lang und 3 m breit sein. Die Diagonale misst 5,08 m. Was kannst du über den Winkel an der Ecke sagen?
5. Begründe: Wenn $(a, b, c)$ ein pythagoreisches Tripel ist, dann ist auch $(2a, 2b, 2c)$ eines.
6. Formuliere den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung jeweils als „Wenn …, dann …“-Satz. Finde ein Beispiel aus dem Alltag, bei dem die Umkehrung einer wahren Aussage falsch ist.

Knobeln

7. Mit zwei natürlichen Zahlen $m > n$ erhält man ein Tripel so: $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2 + n^2$. Berechne die Tripel für $(m, n) = (2, 1)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$ und $(4, 3)$. Prüfe eines davon nach.
8. Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten, bei dem eine Kathete genau 1 lang ist? (Tipp: $c^2 - b^2 = (c - b)(c + b)$.)

Lösungen

1. a) $36 + 64 = 100 = 10^2$, rechtwinklig. b) $25 + 36 = 61 < 64$, nicht rechtwinklig (stumpf). c) $400 + 441 = 841 = 29^2$, rechtwinklig. d) $2{,}25 + 4 = 6{,}25 = 2{,}5^2$, rechtwinklig.
2. $144 + 256 = 400 = 20^2$. Ja. Es ist das Vierfache von (3, 4, 5).
3. Drei Stücke an die eine Seite, vier an die andere, fünf an die dritte. Wegen $3^2 + 4^2 = 5^2$ entsteht zwischen den Seiten mit 3 und 4 Stücken ein rechter Winkel.
4. Bei einem rechten Winkel wäre die Diagonale $\sqrt{16 + 9} = 5$ m. 5,08 m ist länger, also ist $a^2 + b^2 < c^2$. Der Winkel ist etwas größer als $90^\circ$.
5. $(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2) = 4c^2 = (2c)^2$.
6. Satz: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt Kathete² + Kathete² = Hypotenuse². Umkehrung: Wenn für die Seiten eines Dreiecks $a^2 + b^2 = c^2$ gilt, dann ist es rechtwinklig. Beispiel für falsche Umkehrung: „Wenn ein Tier ein Hund ist, hat es vier Beine.“ Umkehrung: „Wenn ein Tier vier Beine hat, ist es ein Hund.“ Das ist falsch.
7. $(2, 1)$: (3, 4, 5). $(3, 2)$: (5, 12, 13). $(4, 1)$: (15, 8, 17). $(4, 3)$: (7, 24, 25). Probe für (15, 8, 17): $225 + 64 = 289 = 17^2$.
8. Nein. Mit $a = 1$ müsste $c^2 - b^2 = 1$ sein, also $(c - b)(c + b) = 1$. Für natürliche Zahlen geht das nur mit $c - b = 1$ und $c + b = 1$. Dann wäre $b = 0$, und das ist kein Dreieck.