Katheten, Hypotenuse und Quadratwurzeln

Einstieg

Quer über eine rechteckige Wiese von 40 m mal 30 m führt ein Trampelpfad von einer Ecke zur gegenüberliegenden. Offensichtlich ist der Weg kürzer als außen herum, also kürzer als 70 m. Aber wie lang ist er genau? Messen kann man ihn, aber man kann ihn auch berechnen. Dafür brauchst du zwei Werkzeuge: die Fachbegriffe für rechtwinklige Dreiecke und die Quadratwurzel. Die Wiese löst du in Lektion 3.

Erklärung

Katheten und Hypotenuse

In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten eigene Namen:

• Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten.
• Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite.

Oft liegt der rechte Winkel bei $C$. Dann ist $c$ die Hypotenuse, $a$ und $b$ sind die Katheten. Verlass dich aber nie auf die Buchstaben. Suche immer zuerst den rechten Winkel. Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse.

Warum ist die Hypotenuse am längsten? Im Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber. Die beiden anderen Winkel sind zusammen nur $90^\circ$, also ist der rechte Winkel der größte.

Die Quadratwurzel

Quadrieren heißt: eine Zahl mit sich selbst malnehmen. $7^2 = 49$. Die Quadratwurzel macht das rückgängig. Sie beantwortet die Frage: Welche nicht-negative Zahl ergibt quadriert 49?

$\sqrt{49} = 7, \quad \text{denn } 7^2 = 49 \text{ und } 7 \ge 0$

Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Er darf nicht negativ sein, denn kein Quadrat ist negativ.

Diese Quadratzahlen solltest du kennen:

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	25
$n^2$	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	625

Wurzeln schätzen

Die meisten Wurzeln sind keine ganzen Zahlen. $\sqrt{30}$ liegt zwischen $\sqrt{25} = 5$ und $\sqrt{36} = 6$, und zwar etwas näher an 5. Der Taschenrechner liefert $\sqrt{30} \approx 5{,}48$. Schätze immer zuerst. So merkst du Tippfehler.

Vorsicht bei Summen

Die Wurzel einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln:

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \quad \text{aber} \quad \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$

Diese Regel wirst du beim Satz des Pythagoras ständig brauchen.

Beispiele

Beispiel 1: Hypotenuse finden. Im Dreieck $ABC$ liegt der rechte Winkel bei $A$. Gegenüber von $A$ liegt die Seite $a = \overline{BC}$. Sie ist die Hypotenuse. Die Katheten sind $b$ und $c$.

Beispiel 2: Wurzeln im Kopf. $\sqrt{144} = 12$. $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$, denn $0{,}5^2 = 0{,}25$. $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$, denn $1{,}5^2 = 2{,}25$.

Beispiel 3: Seitenlänge aus der Fläche. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt $50\,\text{cm}^2$. Seine Seite ist $\sqrt{50}\,\text{cm}$. Schätzung: zwischen 7 und 8, knapp über 7. Taschenrechner: $\sqrt{50} \approx 7{,}07$. Die Seite ist etwa 7,07 cm lang.

Merksatz

Die Seiten am rechten Winkel heißen Katheten, die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite. $\sqrt{x}$ ist die nicht-negative Zahl, deren Quadrat $x$ ist. Achtung: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Übungen

Grundlagen

1. Im Dreieck $PQR$ liegt der rechte Winkel bei $Q$. Welche Seite ist die Hypotenuse, welche sind die Katheten? Gib sie mit Endpunkten an.
2. Berechne ohne Taschenrechner: a) $\sqrt{81}$, b) $\sqrt{169}$, c) $\sqrt{0{,}36}$, d) $\sqrt{1{,}44}$, e) $\sqrt{\frac{4}{9}}$.
3. Zwischen welchen beiden ganzen Zahlen liegen a) $\sqrt{20}$, b) $\sqrt{75}$, c) $\sqrt{120}$?

Weiter

4. Ein quadratisches Beet soll $18\,\text{m}^2$ groß werden. Wie lang muss eine Seite sein? Schätze zuerst, rechne dann.
5. Tim rechnet: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4 = 7$. Erkläre seinen Fehler.
6. Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm und einen rechten Winkel. Welche Seite ist die Hypotenuse? Woher weißt du das, ohne zu zeichnen?

Knobeln

7. Finde $\sqrt{2}$ ohne Wurzeltaste auf zwei Nachkommastellen. Probiere: Wie groß sind $1{,}4^2$, $1{,}5^2$, $1{,}41^2$ und $1{,}42^2$?
8. Gibt es Zahlen, deren Wurzel größer ist als die Zahl selbst? Suche Beispiele und beschreibe, welche Zahlen das sind.

Lösungen

1. Hypotenuse ist $q = \overline{PR}$, sie liegt dem rechten Winkel bei $Q$ gegenüber. Katheten: $p = \overline{QR}$ und $r = \overline{PQ}$.
2. a) 9. b) 13. c) 0,6. d) 1,2. e) $\frac{2}{3}$, denn $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
3. a) $16 < 20 < 25$, also zwischen 4 und 5. b) $64 < 75 < 81$, zwischen 8 und 9. c) $100 < 120 < 121$, zwischen 10 und 11 (sehr nah an 11).
4. $\sqrt{18}$ liegt zwischen 4 und 5, etwas über 4. Taschenrechner: $\sqrt{18} \approx 4{,}24$ m.
5. Tim hat aus jedem Summanden einzeln die Wurzel gezogen. Erst muss die Summe berechnet werden: $\sqrt{25} = 5$.
6. Die Hypotenuse ist die längste Seite, also 13 cm. Der rechte Winkel liegt ihr gegenüber.
7. $1{,}4^2 = 1{,}96$ und $1{,}5^2 = 2{,}25$, also liegt $\sqrt{2}$ zwischen 1,4 und 1,5. $1{,}41^2 = 1{,}9881$ und $1{,}42^2 = 2{,}0164$, also liegt $\sqrt{2}$ zwischen 1,41 und 1,42. Da 1,9881 näher an 2 liegt, ist $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.
8. Ja, alle Zahlen zwischen 0 und 1. Beispiel: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$ und $\sqrt{0{,}01} = 0{,}1 > 0{,}01$. Bei 0 und 1 sind Zahl und Wurzel gleich, bei Zahlen größer als 1 ist die Wurzel kleiner.