Satz des Pythagoras: entdecken und beweisen

Einstieg

Zeichne auf Kästchenpapier ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm. Miss die Hypotenuse. Du erhältst 5 cm. Zeichne nun über jede Seite ein Quadrat und zähle die Flächen: $9\,\text{cm}^2$, $16\,\text{cm}^2$ und $25\,\text{cm}^2$. Fällt dir etwas auf? $9 + 16 = 25$. Probiere es mit den Katheten 6 cm und 8 cm. Die Hypotenuse misst 10 cm, und wieder gilt $36 + 64 = 100$. Ist das Zufall? Nein. Das ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik.

Erklärung

Der Satz

Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.

Liegt der rechte Winkel bei $C$, sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse:

$a^2 + b^2 = c^2$

Merke dir den Satz in Worten, nicht nur mit Buchstaben: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse². Liegt der rechte Winkel woanders, ändern sich die Buchstaben, aber nicht die Aussage.

Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Für andere Dreiecke gilt:

• Ist der Winkel gegenüber der längsten Seite spitz, dann ist die Summe der kleinen Quadrate größer als das große Quadrat.
• Ist er stumpf, dann ist sie kleiner.

Warum der Satz immer gilt: der Ergänzungsbeweis

Ein Beweis zeigt, dass eine Aussage für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt, nicht nur für ausprobierte Beispiele. Ein sehr anschaulicher Beweis heißt Ergänzungsbeweis.

Nimm vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$. Lege sie in ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$. Das geht auf zwei Arten:

	Anordnung 1	Anordnung 2
Lage der Dreiecke	Je ein Dreieck in jeder Ecke, die Hypotenusen zeigen nach innen	Je zwei Dreiecke bilden ein Rechteck $a \times b$, die Rechtecke liegen in zwei gegenüberliegenden Ecken
freie Fläche in der Mitte	ein schräg liegendes Quadrat mit Seite $c$	zwei Quadrate mit den Seiten $a$ und $b$
Flächeninhalt frei	$c^2$	$a^2 + b^2$

Das große Quadrat ist in beiden Fällen gleich groß. Die vier Dreiecke sind in beiden Fällen dieselben. Also muss auch die freie Fläche gleich groß sein:

$c^2 = a^2 + b^2$

Im Link zu diesem Abschnitt kannst du die Teile selbst verschieben.

Derselbe Beweis mit Termen

Die Fläche des großen Quadrats kann man auf zwei Arten berechnen. Mit Anordnung 1:

$(a + b)^2 = 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + c^2 = 2ab + c^2$

Mit der binomischen Formel ist $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Gleichsetzen: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$. Auf beiden Seiten $2ab$ abziehen: $a^2 + b^2 = c^2$.

Beispiele

Beispiel 1: Gilt der Satz? Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm. Die längste Seite ist die Hypotenuse.

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Der Satz ist erfüllt.

Beispiel 2: Kein rechter Winkel. Ein Dreieck hat die Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm.

$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$, aber $6^2 = 36$. Da $41 \neq 36$, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Weil $41 > 36$, ist der Winkel gegenüber der 6-cm-Seite spitz.

Beispiel 3: Andere Buchstaben. Im Dreieck $ABC$ ist der rechte Winkel bei $A$. Die Hypotenuse liegt gegenüber, das ist $a$. Also gilt $b^2 + c^2 = a^2$.

Merksatz

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse², bei rechtem Winkel in $C$ also $a^2 + b^2 = c^2$. Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Er lässt sich beweisen, indem man vier gleiche Dreiecke auf zwei Arten in ein Quadrat mit Seite $a + b$ legt.

Übungen

Grundlagen

1. Schreibe den Satz des Pythagoras mit den passenden Buchstaben auf: a) Dreieck $ABC$, rechter Winkel bei $B$; b) Dreieck $PQR$, rechter Winkel bei $R$; c) Dreieck $XYZ$, rechter Winkel bei $X$.
2. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 5 cm und 12 cm. Miss die Hypotenuse und prüfe den Satz mit den Quadratflächen.
3. Die Kathetenquadrate eines rechtwinkligen Dreiecks haben die Flächen $36\,\text{cm}^2$ und $64\,\text{cm}^2$. Wie groß ist das Hypotenusenquadrat? Wie lang ist die Hypotenuse?

Weiter

4. Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler in eigenen Worten, warum in den beiden Anordnungen des Ergänzungsbeweises gleich viel Fläche frei bleibt.
5. Lisa behauptet: „Für das Dreieck mit den Seiten 2 cm, 3 cm und 4 cm gilt $2^2 + 3^2 = 4^2$.“ Prüfe und erkläre, was das über das Dreieck aussagt.
6. Zeichne statt Quadraten Halbkreise über die Seiten des Dreiecks mit 3 cm, 4 cm und 5 cm (die Seiten sind die Durchmesser). Berechne die drei Halbkreisflächen. Gilt auch hier „klein plus klein gleich groß“? (Hinweis: Ein Kreis mit dem Radius $r$ hat den Flächeninhalt $\pi r^2$, ein Halbkreis also $\frac{1}{2}\pi r^2$. Der Radius ist der halbe Durchmesser.)

Knobeln

7. Führe den Beweis mit Termen selbst durch, aber mit Anordnung 2: Berechne die Fläche des großen Quadrats als Summe aus den zwei Rechtecken und den zwei kleinen Quadraten.
8. Ein Quadrat hat die Seitenlänge 1 dm. Seine Diagonale teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke. Wie groß ist das Quadrat über der Diagonale im Vergleich zum ursprünglichen Quadrat? Wie lang ist die Diagonale?

Lösungen

1. a) Hypotenuse $b$: $a^2 + c^2 = b^2$. b) Hypotenuse $r$: $p^2 + q^2 = r^2$. c) Hypotenuse $x$: $y^2 + z^2 = x^2$.
2. Die Hypotenuse misst 13 cm. $25\,\text{cm}^2 + 144\,\text{cm}^2 = 169\,\text{cm}^2 = (13\,\text{cm})^2$.
3. $36 + 64 = 100$. Das Hypotenusenquadrat hat $100\,\text{cm}^2$, die Hypotenuse ist $\sqrt{100} = 10$ cm lang.
4. Beide Male liegt dasselbe große Quadrat mit Seite $a + b$ vor, und beide Male werden dieselben vier Dreiecke hineingelegt. Was übrig bleibt, ist das große Quadrat minus vier Dreiecke, also in beiden Fällen gleich viel. Einmal ist es das Quadrat $c^2$, einmal sind es die Quadrate $a^2$ und $b^2$.
5. $4 + 9 = 13$, aber $4^2 = 16$. Die Aussage ist falsch. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig. Weil $13 < 16$, ist der Winkel gegenüber der 4-cm-Seite stumpf.
6. Halbkreisfläche mit Durchmesser $d$: $\frac{1}{2} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$. Werte: $\frac{9\pi}{8}$, $\frac{16\pi}{8}$, $\frac{25\pi}{8}$ (etwa $3{,}53$, $6{,}28$ und $9{,}82\,\text{cm}^2$). Es gilt $\frac{9\pi}{8} + \frac{16\pi}{8} = \frac{25\pi}{8}$. Jede Fläche ist das $\frac{\pi}{8}$-Fache des Quadrats, darum überträgt sich der Satz.
7. Zwei Rechtecke: $2 \cdot a \cdot b$. Zwei Quadrate: $a^2 + b^2$. Großes Quadrat also $(a + b)^2 = 2ab + a^2 + b^2$. Mit Anordnung 1 ist dieselbe Fläche $2ab + c^2$. Gleichsetzen und $2ab$ abziehen ergibt $a^2 + b^2 = c^2$.
8. Kathetenquadrate: je $1\,\text{dm}^2$. Das Quadrat über der Diagonale ist $1 + 1 = 2\,\text{dm}^2$, also doppelt so groß. Die Diagonale ist $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ dm lang.