Satz des Pythagoras: Anwendungsaufgaben und typische Fehler

Einstieg

Vor dem Eingang einer Schule sind drei Stufen, zusammen 50 cm hoch. Damit Menschen im Rollstuhl hineinkommen, soll eine Rampe gebaut werden. Eine Rampe für Rollstühle darf höchstens 6 % Steigung haben. Wie lang wird sie? In dieser letzten Lektion übst du solche Sachaufgaben und lernst die Fehler kennen, die beim Satz des Pythagoras am häufigsten passieren.

Erklärung

Sachaufgaben in fünf Schritten

1. Skizze zeichnen und alle gegebenen Längen eintragen.
2. Rechtwinkliges Dreieck suchen, den rechten Winkel markieren.
3. Hypotenuse farbig nachziehen. Ist sie gesucht oder gegeben?
4. Rechnen: Quadrate addieren (Hypotenuse gesucht) oder subtrahieren (Kathete gesucht), dann Wurzel. Erst am Ende runden.
5. Antwortsatz mit Einheit und Plausibilitätsprüfung: Ist die Hypotenuse die längste Seite?

Die häufigsten Fehler

Fehler	Beispiel	So ist es richtig
Falsche Seite als Hypotenuse	Rechter Winkel bei $A$, trotzdem $a^2 + b^2 = c^2$	Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel: $b^2 + c^2 = a^2$
Addiert statt subtrahiert	Kathete $= \sqrt{c^2 + b^2}$	Kathete $= \sqrt{c^2 - b^2}$
Ohne Quadrate gerechnet	$a = 13 - 5 = 8$	$a = \sqrt{169 - 25} = 12$
Wurzel einer Summe aufgeteilt	$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$	Erst addieren, dann Wurzel ziehen
Wurzel vergessen	$c = 25$ statt $c = 5$ bei $c^2 = 25$	Am Ende die Wurzel ziehen
Einheiten gemischt	2 m und 50 cm direkt eingesetzt	Vorher in dieselbe Einheit umrechnen
Satz ohne rechten Winkel benutzt	Seiten 4, 5, 6: „$c = \sqrt{41}$“	Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck

Beispiele

Beispiel 1: Die Rampe. 6 % Steigung bedeutet: Auf 100 cm waagerecht geht es 6 cm hoch. Für 50 cm Höhe braucht man waagerecht $50 : 0{,}06 \approx 833$ cm, also etwa 8,33 m.

Die Rampe selbst ist die Hypotenuse: $\sqrt{8{,}\overline{3}^2 + 0{,}5^2} \approx \sqrt{69{,}44 + 0{,}25} \approx 8{,}35$ m.

Die Rampe muss also mindestens etwa 8,35 m lang sein. Sie ist nur wenig länger als die waagerechte Strecke, weil sie so flach ist. Nach DIN 18040 braucht eine Rampe außerdem spätestens nach 6 m Länge ein ebenes Zwischenpodest. Eine einzige durchgehende Rampe von 8,35 m wäre also nicht zulässig, sie muss in zwei Abschnitte geteilt werden.

Beispiel 2: Fehler finden. Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 cm und eine Kathete von 5 cm. Eine Lösung lautet: „$a = 13 - 5 = 8$ cm.“

Fehler: Es wurden die Seitenlängen subtrahiert, nicht ihre Quadrate. Probe zeigt es: $5^2 + 8^2 = 89 \neq 169$. Richtig: $a = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. Probe: $25 + 144 = 169$.

Merksatz

Skizze, rechter Winkel, Hypotenuse: Diese drei Dinge klärst du vor jeder Rechnung. Mit Quadraten rechnen, am Ende die Wurzel ziehen, erst dann runden. Zum Schluss prüfen, ob die Hypotenuse die längste Seite ist.

Übungen

Grundlagen

1. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 7 cm und 24 cm lang. Berechne die Hypotenuse.
2. Die Hypotenuse ist 41 m lang, eine Kathete 9 m. Berechne die andere Kathete.
3. Ist ein Dreieck mit den Seiten 10 cm, 24 cm und 26 cm rechtwinklig?

Weiter

4. Ein 12 m hoher Mast wird mit einem Seil gesichert. Das Seil ist an der Spitze befestigt und 5 m vom Fuß des Masts im Boden verankert. Wie lang ist das Seil?
5. Ein Tablet hat eine Bildschirmdiagonale von 25,4 cm. Breite und Höhe stehen im Verhältnis 4 : 3. Wie breit und wie hoch ist der Bildschirm?
6. Eine 6,5 m lange Leiter lehnt an einer Wand, ihr Fuß steht 2,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? Nun rutscht der Fuß 1 m weiter von der Wand weg. Rutscht die Spitze dann auch um 1 m nach unten?

Knobeln

7. Ein Schiff fährt 12 km nach Norden, dann 9 km nach Osten und dann noch 4 km nach Norden. Wie weit ist es jetzt vom Startpunkt entfernt?
8. Suche dir aus der Fehlertabelle zwei Fehler aus. Erfinde zu jedem eine Aufgabe, in der man genau diesen Fehler leicht machen kann. Schreibe die falsche und die richtige Lösung auf.

Lösungen

1. $c = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ cm.
2. $b = \sqrt{1681 - 81} = \sqrt{1600} = 40$ m.
3. $100 + 576 = 676 = 26^2$. Ja, das Dreieck ist rechtwinklig.
4. $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ m.
5. Seiten $4k$ und $3k$, Diagonale $5k$ (Tripel 3, 4, 5). $5k = 25{,}4$, also $k = 5{,}08$. Breite: $4 \cdot 5{,}08 = 20{,}32$ cm. Höhe: $3 \cdot 5{,}08 = 15{,}24$ cm.
6. Vorher: $h = \sqrt{6{,}5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{42{,}25 - 6{,}25} = \sqrt{36} = 6$ m. Nachher (Fuß 3,5 m entfernt): $h = \sqrt{42{,}25 - 12{,}25} = \sqrt{30} \approx 5{,}48$ m. Die Spitze rutscht nur etwa 0,52 m nach unten, nicht 1 m.
7. Insgesamt $12 + 4 = 16$ km nach Norden und 9 km nach Osten. Entfernung: $\sqrt{16^2 + 9^2} = \sqrt{256 + 81} = \sqrt{337} \approx 18{,}36$ km.
8. Individuelle Lösung. Jede Aufgabe soll so gebaut sein, dass der gewählte Fehler naheliegt, und beide Lösungen enthalten.