Hypotenuse berechnen und Kathete berechnen

Einstieg

Zurück zur Wiese aus der ersten Lektion: 40 m lang, 30 m breit, ein Trampelpfad quer von Ecke zu Ecke. Die beiden Wiesenränder bilden einen rechten Winkel, der Pfad ist die Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du seine Länge jetzt berechnen, ohne einen Meter zu messen.

Erklärung

Die Hypotenuse berechnen

Sind beide Katheten bekannt, addierst du ihre Quadrate und ziehst die Wurzel:

$c^2 = a^2 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Eine Kathete berechnen

Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, stellst du die Gleichung um. Vom Hypotenusenquadrat ziehst du das bekannte Kathetenquadrat ab:

$a^2 = c^2 - b^2 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Hier wird subtrahiert, nicht addiert. Das ist der häufigste Fehler.

So gehst du vor

1. Skizze zeichnen, den rechten Winkel markieren.
2. Hypotenuse finden (gegenüber dem rechten Winkel) und farbig nachziehen.
3. Gleichung in Worten aufstellen: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse².
4. Einsetzen, nach dem gesuchten Quadrat umstellen, Wurzel ziehen.
5. Prüfen: Die Hypotenuse muss die längste Seite sein. Alle Längen in derselben Einheit.

Beispiele

Beispiel 1: Der Trampelpfad. Katheten 40 m und 30 m, gesucht ist die Hypotenuse $c$.

$c = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ m.

Der Pfad ist 50 m lang. Wer quer geht, spart $70\,\text{m} - 50\,\text{m} = 20\,\text{m}$.

Beispiel 2: Kathete gesucht. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $c = 10$ cm und eine Kathete $a = 6$ cm.

$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm.

Beispiel 3: Leiter an der Wand. Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Hauswand. Ihr Fuß steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?

Wand und Boden bilden den rechten Winkel, die Leiter ist die Hypotenuse.

$h = \sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{25 - 2{,}25} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77$ m.

Beispiel 4: Ergebnis ist keine ganze Zahl. Katheten 3 cm und 7 cm.

$c = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7{,}62$ cm. Kontrolle: länger als 7 cm, aber kürzer als $3 + 7 = 10$ cm.

Merksatz

Hypotenuse gesucht: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, Quadrate addieren. Kathete gesucht: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, vom Hypotenusenquadrat subtrahieren. Immer zuerst den rechten Winkel und die Hypotenuse in einer Skizze markieren.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne die Hypotenuse: a) $a = 9$ cm, $b = 12$ cm; b) $a = 8$ m, $b = 15$ m; c) $a = 2{,}5$ cm, $b = 6$ cm.
2. Berechne die fehlende Kathete: a) $c = 25$ cm, $a = 7$ cm; b) $c = 13$ m, $b = 5$ m; c) $c = 8$ cm, $a = 5$ cm (auf zwei Nachkommastellen).
3. Ein Rechteck ist 12 cm lang und 5 cm breit. Wie lang ist seine Diagonale?

Weiter

4. Jonas soll in einem rechtwinkligen Dreieck mit $c = 10$ cm und $a = 6$ cm die Kathete $b$ berechnen. Er rechnet $b = \sqrt{100 + 36} \approx 11{,}66$ cm. Woran hätte er ohne Nachrechnen merken können, dass das falsch ist?
5. Eine Drachenschnur ist 50 m lang und straff gespannt. Der Drachen steht genau über einem Punkt, der 30 m von Mia entfernt ist. Wie hoch fliegt der Drachen über Mias Hand?
6. Ein Fernseher hat eine Bildschirmdiagonale von 55 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm). Der Bildschirm ist 121,8 cm breit. Wie hoch ist er?

Knobeln

7. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks stehen im Verhältnis 3 : 4. Die Hypotenuse ist 35 cm lang. Wie lang sind die Katheten?
8. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete doppelt so lang wie die andere. Die Hypotenuse ist 10 cm lang. Berechne die Katheten.

Lösungen

1. a) $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm. b) $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ m. c) $\sqrt{6{,}25 + 36} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5$ cm.
2. a) $\sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ cm. b) $\sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ m. c) $\sqrt{64 - 25} = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ cm.
3. $d = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ cm.
4. Eine Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse. 11,66 cm ist länger als 10 cm, also muss ein Fehler vorliegen. Er hat addiert statt subtrahiert. Richtig: $b = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm.
5. Schnur = Hypotenuse, 30 m = waagerechte Kathete. $h = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$ m.
6. Diagonale: $55 \cdot 2{,}54\,\text{cm} = 139{,}7$ cm. Höhe: $\sqrt{139{,}7^2 - 121{,}8^2} = \sqrt{19\,516{,}09 - 14\,835{,}24} = \sqrt{4680{,}85} \approx 68{,}4$ cm.
7. Katheten $3k$ und $4k$: $9k^2 + 16k^2 = 25k^2 = 35^2 = 1225$. $k^2 = 49$, $k = 7$. Katheten: 21 cm und 28 cm.
8. Katheten $x$ und $2x$: $x^2 + 4x^2 = 5x^2 = 100$, also $x^2 = 20$ und $x = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ cm. Die andere Kathete ist $2\sqrt{20} \approx 8{,}94$ cm. Probe: $20 + 80 = 100$.