Satz des Pythagoras in Figuren, im Koordinatensystem und in Körpern

Einstieg

Passt ein 80 cm langer Regenschirm in einen Umzugskarton, der 60 cm lang, 40 cm breit und 40 cm hoch ist? Flach auf den Boden gelegt sicher nicht. Aber schräg von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke? In vielen Figuren und Körpern verstecken sich rechtwinklige Dreiecke. Wer sie findet, kann mit dem Satz des Pythagoras Längen berechnen, die man nicht direkt messen kann.

Erklärung

Rechtwinklige Dreiecke finden

Der wichtigste Schritt ist immer derselbe: In der Figur ein rechtwinkliges Dreieck suchen, in dem die gesuchte Strecke eine Seite ist. Oft entsteht es erst, wenn du eine Hilfslinie einzeichnest, zum Beispiel eine Höhe oder eine Diagonale.

Typische Fälle

Figur	Rechtwinkliges Dreieck	Formel
Rechteck mit Seiten $a$, $b$	Diagonale teilt es in zwei Dreiecke	$d = \sqrt{a^2 + b^2}$
Quadrat mit Seite $a$	Sonderfall des Rechtecks	$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Gleichseitiges Dreieck mit Seite $a$	Höhe teilt die Grundseite in zwei Hälften	$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$
Gleichschenkliges Dreieck	Höhe auf die Basis halbiert die Basis	$h = \sqrt{s^2 - \left(\frac{g}{2}\right)^2}$
Zwei Punkte im Koordinatensystem	waagerechte und senkrechte Verbindung	$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Quader mit Kanten $a$, $b$, $c$	erst Bodendiagonale, dann Raumdiagonale	$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Die Raumdiagonale in zwei Schritten

1. Die Bodendiagonale $e$ ist die Hypotenuse im Dreieck aus Länge $a$ und Breite $b$: $e^2 = a^2 + b^2$.
2. Die Raumdiagonale $d$ ist die Hypotenuse im Dreieck aus Bodendiagonale $e$ und Höhe $c$, denn die Höhe steht senkrecht auf dem Boden: $d^2 = e^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Abstand zweier Punkte

Zwischen $A(x_1 \mid y_1)$ und $B(x_2 \mid y_2)$ kannst du ein Steigungsdreieck zeichnen. Seine Katheten sind der waagerechte Abstand $x_2 - x_1$ und der senkrechte Abstand $y_2 - y_1$. Die Strecke $\overline{AB}$ ist die Hypotenuse.

Beispiele

Beispiel 1: Höhe im gleichseitigen Dreieck. Seite $a = 6$ cm. Die Höhe halbiert die Grundseite: 3 cm.

$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} \approx 5{,}20$ cm.

Beispiel 2: Abstand im Koordinatensystem. $A(1 \mid 2)$ und $B(7 \mid 10)$.

Waagerecht: $7 - 1 = 6$. Senkrecht: $10 - 2 = 8$. $\overline{AB} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ Längeneinheiten.

Beispiel 3: Raumdiagonale. Quader mit $a = 3$ cm, $b = 4$ cm, $c = 12$ cm.

Bodendiagonale: $e = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm. Raumdiagonale: $d = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

Beispiel 4: Der Umzugskarton. $d = \sqrt{60^2 + 40^2 + 40^2} = \sqrt{3600 + 1600 + 1600} = \sqrt{6800} \approx 82{,}5$ cm. Der Regenschirm passt schräg hinein. Auf dem Boden wäre die längste Strecke die Bodendiagonale $\sqrt{5200} \approx 72{,}1$ cm, das reicht nicht.

Merksatz

Suche in der Figur ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die gesuchte Strecke vorkommt, notfalls mit einer Hilfslinie. Bei Körpern brauchst du oft zwei Dreiecke nacheinander. Abstand zweier Punkte: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Übungen

Grundlagen

1. Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 5 cm?
2. Berechne die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 10 cm. Berechne damit auch seinen Flächeninhalt.
3. Berechne den Abstand der Punkte $A(-2 \mid 1)$ und $B(4 \mid 9)$.

Weiter

4. Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 16 cm und zwei Schenkel von je 17 cm. Berechne die Höhe auf die Basis und den Flächeninhalt.
5. Gegeben sind $A(0 \mid 0)$, $B(4 \mid 2)$ und $C(-1 \mid 2)$. Berechne die drei Seitenlängen des Dreiecks $ABC$ und prüfe, ob es rechtwinklig ist. Wo liegt gegebenenfalls der rechte Winkel?
6. Ein Würfel hat die Kantenlänge 10 cm. Berechne die Flächendiagonale und die Raumdiagonale.

Knobeln

7. Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat die Grundkante 6 m und die Seitenkante (von einer Ecke der Grundfläche zur Spitze) 5 m. Wie hoch ist die Pyramide? (Tipp: Die Spitze liegt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.)
8. Wie weit kann man von einem 100 m hohen Turm bis zum Horizont sehen? Die Erde ist eine Kugel mit dem Radius 6370 km. Die Sichtlinie berührt die Erdoberfläche und steht dort senkrecht auf dem Radius.

Lösungen

1. $d = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ cm.
2. $h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} \approx 8{,}66$ cm. Flächeninhalt: $\frac{10 \cdot 8{,}66}{2} \approx 43{,}3\,\text{cm}^2$.
3. Waagerecht $4 - (-2) = 6$, senkrecht $9 - 1 = 8$. $\overline{AB} = \sqrt{36 + 64} = 10$ Längeneinheiten.
4. $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ cm. Flächeninhalt: $\frac{16 \cdot 15}{2} = 120\,\text{cm}^2$.
5. $\overline{AB} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $\;\overline{AC} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$, $\;\overline{BC} = \sqrt{25 + 0} = 5$. Längste Seite: $\overline{BC}$. $20 + 5 = 25 = 5^2$. Das Dreieck ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei $A$ (gegenüber von $\overline{BC}$).
6. Flächendiagonale: $\sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \approx 14{,}14$ cm. Raumdiagonale: $\sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} \approx 17{,}32$ cm.
7. Halbe Diagonale der Grundfläche: Die Diagonale ist $\sqrt{72} \approx 8{,}49$ m, die Hälfte also $\sqrt{18} \approx 4{,}24$ m. Im Dreieck aus Höhe, halber Diagonale und Seitenkante ist die Seitenkante die Hypotenuse: $h = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7} \approx 2{,}65$ m.
8. Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $r$ (Radius zum Berührpunkt) und Sichtweite $s$ sowie der Hypotenuse $r + 100$ m. Mit $r = 6\,370\,000$ m: $s = \sqrt{(r + 100)^2 - r^2} = \sqrt{2 \cdot r \cdot 100 + 100^2} = \sqrt{1\,274\,010\,000} \approx 35\,700$ m. Man sieht etwa 35,7 km weit.