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Illustration: eine Person in pinkem Trikot fährt Velo auf einer schnurgeraden Strasse am Seeufer. Am Strassenrand stehen Holzpfosten in gleichen Abständen, hinten liegen Berge.

Mathematik · Deutschschweiz · Zyklus 3

Proportionalität und lineare Funktionen

Eine Unterrichtsreihe zu Zuordnungen und linearen Funktionen für die 1. bis 3. Sek nach dem Lehrplan 21. Sie beginnt mit proportionalen und umgekehrt proportionalen Zuordnungen und dem Dreisatz, führt zum Lesen und Zeichnen von Funktionsgraphen und dann zu linearen Funktionen mit Steigung, y-Achsenabschnitt, Nullstelle und Schnittpunkt. Interaktive Graphen mit Schiebereglern zeigen, wie die Parameter wirken.

Schuljahre
7–9
Schultypen
Sekundarschule
Umfang
11 Unterrichtsstunden
Fach
Mathematik
Region
Deutschschweiz
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Lernziele

  • Die Schülerinnen und Schüler erkennen proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen an Tabellen und Graphen und rechnen mit dem Dreisatz.
  • Sie lesen Funktionswerte aus Graphen ab und deuten Weg-Zeit-Diagramme.
  • Sie legen zu einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle an und zeichnen den Graphen.
  • Sie bestimmen Steigung und y-Achsenabschnitt linearer Funktionen und rechnen mit Steigungen in Prozent.
  • Sie stellen Funktionsgleichungen aus Texten, Punkten und Tabellen auf und berechnen Nullstellen und Schnittpunkte.
  • Sie ordnen Texte, Tabellen, Gleichungen und Graphen einander zu.

Bezug zum Lehrplan 21

Lehrplan 21 (Deutschschweiz), Fachbereichslehrplan Mathematik

  • Kompetenz: MA.3.A.3 Die Schülerinnen und Schüler können funktionale Zusammenhänge beschreiben und Funktionswerte bestimmen.
  • Kompetenzstufe: MA.3.A.3.g können Funktionswerte aufgrund von Funktionsgraphen bestimmen. können mit indirekt proportionalen Beziehungen rechnen (z.B. Anzahl Karten je Person bei 72 Karten und x Mitspielenden). verstehen Prozentangaben als proportionale Zuordnungen und führen Prozentrechnungen aus (z.B. Wie viele Prozente sind 7 von 35 sowie wie viel sind 7% von 35?).
  • Kompetenzstufe: MA.3.A.3.h können zu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen. können Streckenlängen aufgrund von Massstabangaben bestimmen und umgekehrt (z.B. auf einer Karte geeignete Routen für eine 12 km-Wanderung eintragen).
  • Kompetenzstufe: MA.3.A.3.i können den Funktionswert zu einer gegebenen Zahl aus einer Wertetabelle, einer graphischen Darstellung und mit der Funktionsgleichung bestimmen sowie Wertepaare im Koordinatensystem einzeichnen (z.B. y = 2x + 1. Für x = 7 → y = 15). können Rechner oder geeignete Software (z.B. Tabellenkalkulation) zur Berechnung von Funktionswerten und Masszahlen benutzen. können Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (z.B. zu Steigung und Zins).
  • Kompetenzstufe: MA.3.A.3.j können den Schnittpunkt zweier Geraden algebraisch und graphisch bestimmen.
  • Kompetenzstufe: MA.3.A.3.k können zu linearen Funktionen den Funktionsgraphen zeichnen, die Steigung, den y-Achsenabschnitt und die Nullstelle bestimmen.
  • Kompetenz: MA.3.C.2 Die Schülerinnen und Schüler können Sachsituationen mathematisieren, darstellen, berechnen sowie Ergebnisse interpretieren und überprüfen.
  • Kompetenzstufe: MA.3.C.2.f erkennen proportionale und lineare (Erweiterung: indirekt proportionale) Zusammenhänge in Sachsituationen (z.B. Taxipreis bei Grundtaxe und festem Preis/km). können Wertepaare sowie Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen (z.B. Zwischenzeiten in 10'000 m - Läufen; Gewicht bzw. Masse und Preis von Lebensmitteln). können Alltagssituationen (z.B. Flächeninhalt eines Zimmers; Geschwindigkeit eines Autos; Benzinverbrauch) in mathematische Sprache übersetzen, die richtigen Grössen identifizieren und geeignete Masseinheiten wählen.
  • Kompetenzstufe: MA.3.C.2.g können die Abhängigkeit zweier Grössen mit einem Funktionsgraphen darstellen sowie Graphenverläufe interpretieren (z.B. Weg - Zeit - Diagramm zu einem 400 m - Lauf). Erweiterung: können zu Wertetabellen eine geeignete Skalierung im Koordinatensystem wählen. Erweiterung: können lineare funktionale Zusammenhänge mit einem Term beschreiben (z.B. Wechselkurse).
  • Kompetenzstufe: MA.3.C.2.h können Wertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren. können Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten, angemessene Entscheidungen treffen und Lösungswege mit Wertetabellen, Diagrammen, Texten, Termen und Graphen darstellen.
  • Kompetenz: MA.3.B.1 Die Schülerinnen und Schüler können zu Grössenbeziehungen und funktionalen Zusammenhängen Fragen formulieren, diese erforschen sowie Ergebnisse überprüfen und begründen.
  • Kompetenzstufe: MA.3.B.1.h Erweiterung: können Parameter in Gleichungen und Formeln verändern und die Auswirkungen insbesondere mit elektronischen Hilfsmitteln untersuchen (z.B. Veränderung der monatlichen Handykosten bei teurem Abo und günstigen Gesprächstarifen).
  • Kompetenzstufe: MA.3.B.1.j können funktionale und statistische Zusammenhänge erforschen, dazu Fragen stellen sowie Ergebnisse vergleichen (z.B. Zusammenhang zwischen Steigung in Grad und Steigung in Prozent). können statistische Rohdaten zu sozialen, wirtschaftlichen und ökologischen Fragestellungen erforschen und Vermutungen dazu austauschen.

Ablauf

  1. Abschnitt 1

    Proportionale Zuordnungen

    Wertetabelle, Quotientengleichheit, Proportionalitätsfaktor, y = k · x, Ursprungsgerade, Dreisatz.

  2. Abschnitt 2

    Umgekehrt proportionale Zuordnungen

    Produktgleichheit, y = c : x, Hyperbel, umgekehrter Dreisatz, Fahrzeiten, Lagerkosten und Arbeitsaufträge.

    • Lektion

      Umgekehrt proportionale Zuordnungen

      Für das Klassenlager mietet ihr ein Lagerhaus im Toggenburg für 1'440 Fr. Die Kosten werden gleichmässig aufgeteilt. Fahren 12 Personen mit, zahlt…

    • Merkhilfe

      Proportional: Der Quotient bleibt gleich. Umgekehrt proportional: Das Produkt bleibt gleich. Frag dich vor dem Rechnen: Wird es mehr oder weniger?

  3. Abschnitt 3

    Funktionsgraphen lesen und zeichnen

    Funktionsbegriff, Koordinatensystem und Wertepaare, Weg-Zeit-Diagramm deuten, Graph aus einer Gleichung zeichnen, Punktprobe.

    • Lektion

      Funktionsgraphen lesen und zeichnen

      Nina macht mit ihrer Familie eine Velotour am See. Ihre Sportuhr zeichnet alle 15 Minuten auf, wie weit sie schon gefahren ist. Zu Hause zeigt die…

    • Aufgabe

      Mein Schulweg als Graph

      Zeichne einen Weg-Zeit-Graphen für deinen Schulweg an einem normalen Morgen.

      1. Notiere die Abschnitte (zu Fuss, Velo, Bus, Warten) mit ungefährer Dauer und Strecke.
      2. Zeichne den Graphen mit beschrifteten Achsen.
      3. Erkläre, an welcher Stelle der Graph am steilsten ist und warum.

  4. Abschnitt 4

    Steigung und y-Achsenabschnitt

    Lineare Funktion y = m · x + q, Steigungsdreieck, Steigung aus zwei Punkten, parallele Geraden, Steigung in Prozent.

  5. Abschnitt 5

    Funktionsgleichung aufstellen, Nullstelle und Schnittpunkt

    Gleichung aus Text, Punkt und Steigung, zwei Punkten oder Tabelle, Nullstelle berechnen, zwei Angebote mit dem Schnittpunkt vergleichen.

    • Lektion

      Funktionsgleichung aufstellen und Schnittpunkt berechnen

      In der Kletterhalle kostet ein Einzeleintritt für Jugendliche 22 Fr. Es gibt auch eine Jahreskarte: einmalig 90 Fr., dann nur noch 12 Fr. pro…

    • Material

      Aufgaben zum Aufstellen der Geradengleichung

      Serlo Education e. V., Lizenz: CC BY-SA 4.0

    • Aufgabe

      Zwei Angebote vergleichen

      Suche zwei Angebote, die sich mit linearen Funktionen beschreiben lassen, zum Beispiel Einzeleintritte und ein Abo, zwei Taxitarife oder zwei Velo-Verleihe. Du kannst die Zahlen auch erfinden.

      1. Stelle für beide Angebote die Funktionsgleichung auf.
      2. Berechne den Schnittpunkt und zeichne beide Geraden.
      3. Formuliere eine Empfehlung: Für wen lohnt sich welches Angebot?

  6. Abschnitt 6

    Sachsituationen und typische Fehler

    Proportional, linear und umgekehrt proportional im Vergleich, Text, Tabelle, Gleichung und Graph zuordnen, Fehlertabelle, gemischte Übungen.

Hinweise für Lehrpersonen

Zeitplan (etwa 11 Lektionen)

AbschnittLektionenSchwerpunkt
1 Proportionale Zuordnungen2Wertetabelle, Quotientengleichheit, Dreisatz, y = k · x
2 Umgekehrt proportionale Zuordnungen2Produktgleichheit, umgekehrter Dreisatz, Hyperbel
3 Funktionsgraphen2Funktionsbegriff, Graphen lesen, Weg-Zeit-Diagramm, Graph aus Gleichung
4 Steigung und y-Achsenabschnitt2y = m · x + q, Steigungsdreieck, Steigung in Prozent
5 Funktionsgleichung aufstellen2aus Text, Punkten und Tabelle, Nullstelle, Schnittpunkt
6 Sachsituationen und Sicherung1Darstellungen wechseln, Fehlertabelle, Übungsmix

Die Abschnitte 1 bis 3 passen in die 1. Sek, die Abschnitte 4 bis 6 in die 2. oder 3. Sek. Sie können die Reihe deshalb auch aufteilen.

Bezug zum Lehrplan 21

  • MA.3.A.3.g und h (vor dem Orientierungspunkt): Funktionswerte aus Graphen bestimmen, mit indirekt proportionalen Beziehungen rechnen, zu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und einzeichnen. Abschnitte 1 bis 3.
  • MA.3.A.3.k (nach dem Orientierungspunkt): Graph linearer Funktionen zeichnen, Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle bestimmen. Abschnitte 4 und 5. Der Schnittpunkt zweier Geraden (MA.3.A.3.j) kommt in Abschnitt 5 dazu.
  • MA.3.C.2.f bis h: proportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen, Graphen interpretieren, Tabellen, Terme und Graphen einander zuordnen. Abschnitte 3 und 6.
  • MA.3.B.1.h und j: Parameter verändern und Auswirkungen untersuchen (die Schieberegler in den Abschnitten 1, 2 und 4), Steigung in Prozent und in Grad vergleichen (Abschnitt 4).

Die Lerntexte verwenden y = m · x + q, wie in vielen Deutschschweizer Lehrmitteln. Ein Hinweis auf die Schreibweise y = mx + b steht in Abschnitt 4.

Didaktische Hinweise

  • Lassen Sie zu jeder Situation alle vier Darstellungen herstellen: Text, Tabelle, Gleichung, Graph. Das Wechseln zwischen ihnen ist der Kern des Lehrplanbezugs MA.3.C.2.h.
  • Die interaktiven Graphen (Schieberegler) eignen sich für eine Erkundungsphase zu zweit: Was passiert mit der Geraden, wenn m negativ wird? Wenn q wächst?
  • Der umgekehrte Dreisatz ist für viele Lernende ungewohnt. Lassen Sie vor dem Rechnen immer zuerst entscheiden: Wird es mehr oder weniger?
  • Die Stoosbahn (Knobelaufgabe in Abschnitt 4) bietet einen Anlass, Steigung in Prozent und Steigungswinkel zu vergleichen. Steigungen über 100 % überraschen viele.
  • Kursieren in der Klasse echte Handy- oder Abo-Angebote, eignen sie sich gut für Abschnitt 5. Achten Sie darauf, dass keine Werbung für einzelne Anbieter entsteht.

Typische Fehlvorstellungen

  • Jede Gerade ist proportional: Lineare Funktionen mit Grundbetrag werden mit dem Dreisatz gerechnet.
  • „Je mehr, desto weniger“ ist immer umgekehrt proportional. Gegenbeispiel: die Kerze.
  • Steigungsdreieck vertauscht: waagrecht durch senkrecht.
  • Vorzeichen: fallende Geraden mit positiver Steigung.
  • y-Achsenabschnitt und Nullstelle verwechselt.
  • Graph als Bild der Situation: Ein Weg-Zeit-Graph wird als Landkarte des Wegs gelesen.

Differenzierung

  • Grundlagenaufgaben arbeiten mit ganzzahligen oder einfachen Dezimalwerten.
  • Weiter-Aufgaben verlangen das Aufstellen von Gleichungen aus Sachtexten.
  • Knobelaufgaben (Prozentänderung bei umgekehrter Proportionalität, Futtervorrat, senkrechte Geraden, Stoosbahn) sind für erweiterte Anforderungen gedacht.

Handlungsaspekte

  • Operieren und Benennen: Funktion, Wertetabelle, Steigung, y-Achsenabschnitt, Nullstelle; Graphen zeichnen.
  • Erforschen und Argumentieren: Parameter mit Schiebereglern untersuchen, Zuordnungstypen begründen, Fehler finden.
  • Mathematisieren und Darstellen: Markt, Lagerkosten, Velotour, Taxi, Kletterhalle, Temperatur in den Bergen.

Häufige Fragen

In welchem Schuljahr werden lineare Funktionen nach Lehrplan 21 unterrichtet?

Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen gehören an den Anfang des Zyklus 3, meist in die 1. Sek. Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle (MA.3.A.3.k) liegen nach dem Orientierungspunkt, also in der 2. oder 3. Sek.

Kann ich die Reihe aufteilen?

Ja. Die Abschnitte 1 bis 3 bilden eine Einheit zu Zuordnungen für die 1. Sek. Die Abschnitte 4 bis 6 zu linearen Funktionen lassen sich später als eigene Einheit einsetzen.

Wie viele Lektionen braucht die Reihe?

Etwa 11 Lektionen für alle sechs Abschnitte, davon 6 für die Zuordnungen und 5 für die linearen Funktionen.

Warum steht y = m · x + q und nicht y = mx + b?

Viele Deutschschweizer Lehrmittel verwenden q für den y-Achsenabschnitt. Der Lerntext zu Abschnitt 4 nennt auch die Schreibweise mit b. Im übernommenen Kurs können Sie die Bezeichnung an Ihr Lehrmittel anpassen.

Quellen

Bildnachweise

  • Titelbild: KI-generiert
  • Steigungsdreieck einer Strasse. Die waagrechte Kathete ist 100 m lang, die senkrechte 12 m. Darüber steht: Steigung gleich 12 m durch 100 m gleich 0.12 gleich 12 Prozent. Die Höhe ist überhöht gezeichnet.: Eigene Darstellung

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