Funktionsgraphen lesen und zeichnen

Einstieg

Nina macht mit ihrer Familie eine Velotour am See. Ihre Sportuhr zeichnet alle 15 Minuten auf, wie weit sie schon gefahren ist. Zu Hause zeigt die App einen Graphen:

Ohne ein Wort zu lesen, erzählt der Graph eine Geschichte: Wann ist die Familie schnell gefahren? Wann hat sie Pause gemacht? In dieser Lektion lernst du, solche Graphen zu lesen und selbst zu zeichnen.

Erklärung

Funktion

Eine Zuordnung, bei der zu jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert gehört, heisst Funktion. Zu jedem Zeitpunkt gibt es genau eine zurückgelegte Strecke, also ist die Velotour eine Funktion. Den $y$-Wert zu einem $x$ nennt man Funktionswert.

Koordinatensystem und Wertepaare

Ein Wertepaar $(x \mid y)$ ist ein Punkt im Koordinatensystem. $x$ wird auf der waagrechten Achse abgetragen, $y$ auf der senkrechten. Der Punkt $(3 \mid 7)$ liegt 3 Einheiten rechts und 7 Einheiten oben.

Vom Graphen ablesen

• Funktionswert ablesen: Bei einem $x$-Wert senkrecht zum Graphen gehen, dann waagrecht zur $y$-Achse.
• Steigt der Graph, nimmt $y$ zu. Fällt er, nimmt $y$ ab. Ein waagrechtes Stück bedeutet: $y$ bleibt gleich.
• Bei einem Weg-Zeit-Graphen bedeutet ein steiles Stück eine hohe Geschwindigkeit.

Einen Graphen zeichnen

1. Mit der Funktionsgleichung eine Wertetabelle anlegen.
2. Die Achsen beschriften und eine passende Einteilung wählen.
3. Die Wertepaare als Punkte eintragen.
4. Die Punkte verbinden, wenn auch die Werte dazwischen sinnvoll sind.

Beispiele

Beispiel 1: Velotour lesen.

• Nach 30 Minuten ist die Familie 10 km gefahren.
• Von Minute 30 bis 60 bleibt die Strecke bei 10 km: Pause.
• Von Minute 60 bis 90 fährt sie 12 km in 30 Minuten. Das sind 24 km pro Stunde, schneller als am Anfang (10 km in 30 Minuten, also 20 km pro Stunde).

Beispiel 2: Graph aus einer Gleichung. Zeichne den Graphen von $y = 2x + 1$.

$x$	−2	−1	0	1	2	3
$y$	−3	−1	1	3	5	7

Die Punkte liegen auf einer Geraden. Ein Funktionswert lässt sich auch berechnen: Für $x = 10$ ist $y = 2 \cdot 10 + 1 = 21$.

Beispiel 3: Liegt ein Punkt auf dem Graphen? Liegt $P(4 \mid 9)$ auf dem Graphen von $y = 2x + 1$? Einsetzen: $2 \cdot 4 + 1 = 9$. Ja.

Merksatz

Eine Funktion ordnet jedem $x$ genau ein $y$ zu. Ihr Graph besteht aus allen Punkten $(x \mid y)$. Zum Zeichnen legst du eine Wertetabelle an. Ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, prüfst du durch Einsetzen.

Übungen

Grundlagen

1. Lege für $y = 3x - 2$ eine Wertetabelle für $x = -1, 0, 1, 2, 3$ an und zeichne den Graphen.
2. Lies aus dem Graphen der Velotour ab: a) Wie weit ist die Familie nach 75 Minuten gefahren? b) Wie lange dauert die Pause? c) Wie lange braucht sie für die ersten 5 km?
3. Ist die Zuordnung eine Funktion? a) Jedem Kind einer Klasse wird sein Geburtsdatum zugeordnet. b) Jedem Geburtsdatum werden die Kinder der Klasse zugeordnet, die an diesem Tag Geburtstag haben.

Weiter

4. Welche Punkte liegen auf dem Graphen von $y = -0.5x + 4$? $P(2 \mid 3)$, $Q(6 \mid 2)$, $R(-2 \mid 5)$.
5. Eine Badewanne wird gefüllt, dann badet jemand darin, danach läuft das Wasser ab. Skizziere einen Graphen für die Wasserhöhe in Abhängigkeit von der Zeit und beschrifte die drei Abschnitte.
6. Für $y = 3x - 2$: Berechne den Funktionswert für $x = 12$. Für welches $x$ ist $y = 25$?

Knobeln

7. Tim geht 10 Minuten zu Fuss zur Haltestelle (1 km), wartet 5 Minuten und fährt dann 10 Minuten mit dem Bus 6 km weit. Gib die Eckpunkte des Weg-Zeit-Graphen an. In welchem Abschnitt ist der Graph am steilsten?
8. Kann ein Weg-Zeit-Graph senkrecht nach oben verlaufen? Begründe.

Lösungen

1. Wertetabelle: $y = -5, -2, 1, 4, 7$. Die Punkte liegen auf einer Geraden durch $(0 \mid -2)$.
2. a) 16 km. b) 30 Minuten (von Minute 30 bis 60). c) 15 Minuten.
3. a) Ja, jedes Kind hat genau ein Geburtsdatum. b) Nein, an einem Datum können mehrere Kinder oder gar keines Geburtstag haben.
4. $P$: $-1 + 4 = 3$, liegt darauf. $Q$: $-3 + 4 = 1 \neq 2$, liegt nicht darauf. $R$: $1 + 4 = 5$, liegt darauf.
5. Erster Abschnitt: Der Graph steigt. Zweiter Abschnitt: waagrecht (mit einem kleinen Sprung nach oben, wenn jemand einsteigt, und nach unten beim Aussteigen). Dritter Abschnitt: Der Graph fällt bis auf 0.
6. $y = 3 \cdot 12 - 2 = 34$. $3x - 2 = 25$, also $3x = 27$ und $x = 9$.
7. Eckpunkte (Zeit in Minuten, Strecke in km): $(0 \mid 0)$, $(10 \mid 1)$, $(15 \mid 1)$, $(25 \mid 7)$. Am steilsten ist die Busfahrt: 6 km in 10 Minuten statt 1 km in 10 Minuten.
8. Nein. Senkrecht hiesse: In null Zeit wird eine Strecke zurückgelegt. Ausserdem gehörten dann zu einem Zeitpunkt mehrere Strecken, es wäre keine Funktion mehr.