Funktionsgleichung aufstellen und Schnittpunkt berechnen

Einstieg

In der Kletterhalle kostet ein Einzeleintritt für Jugendliche 22 Fr. Es gibt auch eine Jahreskarte: einmalig 90 Fr., dann nur noch 12 Fr. pro Besuch. Ab wie vielen Besuchen lohnt sich die Jahreskarte?

Um das zu beantworten, stellst du für beide Angebote eine Funktionsgleichung auf und suchst den Punkt, an dem beide gleich viel kosten. Das ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Erklärung

Funktionsgleichung aufstellen

Für $y = m \cdot x + q$ brauchst du $m$ und $q$.

• Aus einem Text: Der feste Betrag ist $q$, der Betrag pro Einheit ist $m$.
• Aus Steigung und einem Punkt: Setze die Koordinaten des Punkts und $m$ in $y = mx + q$ ein und löse nach $q$ auf.
• Aus zwei Punkten: Berechne zuerst $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, dann $q$ wie oben.
• Aus einer Wertetabelle: Der $y$-Wert bei $x = 0$ ist $q$. Wächst $x$ um 1, wächst $y$ um $m$.

Nullstelle

Die Nullstelle ist der $x$-Wert, bei dem die Gerade die $x$-Achse schneidet. Dort ist $y = 0$. Du setzt $mx + q = 0$ und löst die Gleichung.

Schnittpunkt zweier Geraden

Im Schnittpunkt haben beide Funktionen denselben $y$-Wert. Du setzt die beiden Terme gleich, löst nach $x$ auf und berechnest dann $y$.

Beispiele

Beispiel 1: Kletterhalle. $x$ = Anzahl Besuche, $y$ = Kosten in Franken.

• Einzeleintritte: $y = 22x$ (proportional).
• Jahreskarte: $y = 12x + 90$.

Gleichsetzen: $22x = 12x + 90 \mid -12x$, also $10x = 90$ und $x = 9$. Kosten: $22 \cdot 9 = 198$ Fr.

Bei 9 Besuchen kosten beide 198 Fr. Ab dem 10. Besuch ist die Jahreskarte günstiger.

Beispiel 2: Aus zwei Punkten. Eine Kerze ist nach 2 Stunden noch 18 cm lang, nach 5 Stunden noch 12 cm. Sie brennt gleichmässig ab.

Steigung: $m = \frac{12 - 18}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2$. Die Kerze wird pro Stunde 2 cm kürzer.

$q$: Einsetzen von $(2 \mid 18)$: $18 = -2 \cdot 2 + q$, also $q = 22$. Gleichung: $y = -2x + 22$. Die Kerze war am Anfang 22 cm lang.

Nullstelle: $-2x + 22 = 0$, also $x = 11$. Nach 11 Stunden ist die Kerze abgebrannt.

Merksatz

Zum Aufstellen von $y = mx + q$ bestimmst du zuerst $m$ (aus dem Text oder mit dem Steigungsdreieck), dann $q$ durch Einsetzen eines Punkts. Nullstelle: $y = 0$ setzen. Schnittpunkt: beide Terme gleichsetzen.

Übungen

Grundlagen

1. Stelle die Gleichung auf: a) $m = 2$, Punkt $(0 \mid -3)$, b) $m = -1$, Punkt $(2 \mid 5)$, c) $m = 0.5$, Punkt $(4 \mid 1)$.
2. Bestimme die Gleichung der Geraden durch: a) $(0 \mid 1)$ und $(2 \mid 7)$, b) $(1 \mid 4)$ und $(3 \mid 0)$, c) $(-2 \mid -1)$ und $(2 \mid 1)$.
3. Berechne die Nullstelle: a) $y = 2x - 6$, b) $y = -0.5x + 4$, c) $y = 3x + 1.5$.

Weiter

4. Bestimme die Funktionsgleichung aus der Wertetabelle:

   $x$	0	1	2	3
   $y$	4	6.5	9	11.5

5. Taxi A verlangt 6 Fr. Grundtaxe und 3.80 Fr. pro km, Taxi B 10 Fr. Grundtaxe und 3.30 Fr. pro km. Bei welcher Strecke kosten beide gleich viel? Welches Taxi ist für eine Fahrt von 12 km günstiger?

6. Ein Wassertank enthält 1200 Liter. Pro Minute fliessen 40 Liter ab. Stelle die Funktionsgleichung für die Wassermenge auf. Nach wie vielen Minuten ist der Tank leer?

Knobeln

7. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $y = 2x + 1$ und $y = -x + 7$. Prüfe dein Ergebnis mit beiden Gleichungen.
8. Haben zwei Geraden immer genau einen Schnittpunkt? Untersuche $y = 3x + 1$ und $y = 3x - 2$ sowie $y = 2x + 4$ und $y = 2(x + 2)$.

Lösungen

1. a) $y = 2x - 3$. b) $5 = -2 + q$, also $q = 7$: $y = -x + 7$. c) $1 = 2 + q$, also $q = -1$: $y = 0.5x - 1$.
2. a) $m = \frac{7 - 1}{2 - 0} = 3$, $q = 1$: $y = 3x + 1$. b) $m = \frac{0 - 4}{3 - 1} = -2$, $4 = -2 + q$, $q = 6$: $y = -2x + 6$. c) $m = \frac{1 - (-1)}{2 - (-2)} = 0.5$, $1 = 1 + q$, $q = 0$: $y = 0.5x$.
3. a) $2x - 6 = 0$, $x = 3$. b) $-0.5x + 4 = 0$, $x = 8$. c) $3x + 1.5 = 0$, $x = -0.5$.
4. $q = 4$, pro Schritt wächst $y$ um 2.5: $y = 2.5x + 4$.
5. $6 + 3.8x = 10 + 3.3x$, also $0.5x = 4$ und $x = 8$. Bei 8 km kosten beide 36.40 Fr. Bei 12 km: Taxi A $6 + 45.60 = 51.60$ Fr., Taxi B $10 + 39.60 = 49.60$ Fr. Taxi B ist günstiger.
6. $y = -40x + 1200$. Leer: $-40x + 1200 = 0$, $x = 30$. Nach 30 Minuten ist der Tank leer.
7. $2x + 1 = -x + 7$, $3x = 6$, $x = 2$. $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Schnittpunkt $(2 \mid 5)$. Probe: $-2 + 7 = 5$.
8. Nein. $y = 3x + 1$ und $y = 3x - 2$ haben dieselbe Steigung und verschiedene Achsenabschnitte. Sie sind parallel und schneiden sich nie. $y = 2(x + 2) = 2x + 4$ ist dieselbe Gerade wie $y = 2x + 4$. Sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.