Funktionen in Sachsituationen und typische Fehler

Einstieg

Ein Zusammenhang lässt sich auf vier Arten zeigen: als Text, als Wertetabelle, als Gleichung und als Graph. Wer zwischen diesen Darstellungen wechseln kann, versteht Funktionen wirklich. In dieser letzten Lektion übst du genau das, wiederholst die drei Funktionstypen dieser Reihe und lernst die häufigsten Fehler kennen.

Erklärung

Drei Typen im Überblick

Typ	Gleichung	Tabelle	Graph
proportional	$y = k \cdot x$	Quotient $\frac{y}{x}$ gleich	Gerade durch den Nullpunkt
linear	$y = m \cdot x + q$	gleiche Schritte bei $x$ ergeben gleiche Schritte bei $y$	Gerade, schneidet die $y$-Achse bei $q$
umgekehrt proportional	$y = \frac{c}{x}$	Produkt $x \cdot y$ gleich	Hyperbel

Proportionale Funktionen sind lineare Funktionen mit $q = 0$.

Vier Beispiele, vier Darstellungen

Text	Gleichung	Typ
Velomiete: 15 Fr. Grundgebühr, 12 Fr. pro Stunde	$y = 12x + 15$	linear
Bergkäse: 3.20 Fr. pro 100 g	$y = 0.032x$	proportional
Lagerhaus für 1'440 Fr., geteilt durch $x$ Personen	$y = \frac{1\text{'}440}{x}$	umgekehrt proportional
Kerze: 22 cm lang, brennt 2 cm pro Stunde ab	$y = -2x + 22$	linear, fallend

Sachsituationen bearbeiten

1. Die beiden Grössen benennen: Was ist $x$, was ist $y$, mit welcher Einheit?
2. Den Typ erkennen: Gibt es einen festen Anfangswert? Wird etwas aufgeteilt?
3. Gleichung aufstellen, rechnen.
4. Ergebnis im Text deuten: Ist es sinnvoll? Negative Personenzahlen oder Zeiten gibt es nicht.

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	Richtig
jede Gerade für proportional halten	Taxi mit Grundtaxe „doppelt so weit, doppelt so teuer“	nur wenn die Gerade durch den Nullpunkt geht
„je mehr, desto weniger“ für umgekehrt proportional halten	Kerze: Zeit länger, Kerze kürzer	prüfen, ob das Produkt gleich bleibt (hier nicht)
Steigungsdreieck vertauscht	$m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$	senkrecht durch waagrecht: $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Vorzeichen der Steigung vergessen	fallende Gerade mit $m = 2$	fällt die Gerade, ist $m$ negativ
$q$ und Nullstelle verwechselt	bei $y = 2x - 6$ „schneidet bei $-6$ die $x$-Achse“	$-6$ ist der y-Achsenabschnitt, die Nullstelle ist $x = 3$

Beispiele

Beispiel 1: Graphen zuordnen. Welcher Graph gehört zu welcher Gleichung?

• $y = 0.5x$ ist proportional: Gerade durch den Nullpunkt, das ist A.
• $y = -x + 6$ ist linear und fallend, $q = 6$: das ist B.
• $y = \frac{6}{x}$ ist umgekehrt proportional: Hyperbel, das ist C.

Beispiel 2: Temperatur in den Bergen. Mit jeden 100 m Höhe wird es im Mittel etwa 0.65 °C kälter. Im Tal auf 500 m Höhe sind es 18 °C. Wie warm ist es ungefähr auf 2500 m?

Die Temperatur nimmt linear ab, $m = -0.0065$ °C pro Meter. Höhenunterschied 2000 m: $18 - 0.0065 \cdot 2000 = 18 - 13 = 5$ °C.

Merksatz

Proportional: $y = kx$, Gerade durch den Nullpunkt. Linear: $y = mx + q$, Gerade mit Achsenabschnitt $q$. Umgekehrt proportional: $y = \frac{c}{x}$, Hyperbel. Bei Sachaufgaben zuerst die Grössen benennen und den Typ bestimmen.

Übungen

Grundlagen

1. Ordne die Texte den Gleichungen $y = 1.06x$, $y = \frac{60}{x}$ und $y = -1.5x + 30$ zu. a) Ein Guthaben von 30 Fr. wird jeden Tag um 1.50 Fr. kleiner. b) Angenommen, für 1 Fr. bekommt man 1.06 Euro. c) 60 Fr. Geschenkgeld werden unter $x$ Kinder aufgeteilt. Nach wie vielen Tagen ist das Guthaben in a) aufgebraucht?
2. Welcher Typ? Gib, wenn möglich, die Gleichung an. a) $x$: 0, 2, 4, 6 und $y$: 5, 8, 11, 14. b) $x$: 1, 2, 4 und $y$: 12, 6, 3.
3. Eine Gerade schneidet die $y$-Achse bei $-2$. Geht man 1 nach rechts, steigt sie um 2. Gib die Gleichung und die Nullstelle an.

Weiter

4. Ein E-Trottinett-Verleih verlangt 1 Fr. für das Entsperren und 0.35 Fr. pro Minute. Ein Tagespass kostet 15 Fr. Ab wie vielen Minuten Fahrzeit an einem Tag lohnt sich der Tagespass?
5. Wie warm ist es nach dem Modell aus Beispiel 2 auf 1200 m Höhe, wenn es im Tal auf 500 m Höhe 18 °C sind? Auf welcher Höhe liegt die Temperatur bei 0 °C?
6. Luca berechnet die Steigung der Geraden durch $(1 \mid 3)$ und $(3 \mid 7)$ so: $m = \frac{3 - 1}{7 - 3} = 0.5$. Finde den Fehler und rechne richtig.

Knobeln

7. Zeichne die Geraden $y = -2x + 4$ und $y = 0.5x + 1$ in ein Koordinatensystem. Was fällt dir am Winkel zwischen ihnen auf? Berechne das Produkt der beiden Steigungen.
8. Handyabo A kostet 25 Fr. im Monat plus 2 Fr. pro Gigabyte Daten. Abo B kostet pauschal 40 Fr. Für welche Datenmengen ist Abo A günstiger?

Lösungen

1. a) $y = -1.5x + 30$, b) $y = 1.06x$, c) $y = \frac{60}{x}$. Guthaben aufgebraucht: $-1.5x + 30 = 0$, $x = 20$ Tage.
2. a) Linear: Pro Schritt von 2 wächst $y$ um 3, also $m = 1.5$, und $q = 5$: $y = 1.5x + 5$. b) Umgekehrt proportional, das Produkt ist immer 12: $y = \frac{12}{x}$.
3. $y = 2x - 2$. Nullstelle: $2x - 2 = 0$, $x = 1$.
4. $1 + 0.35x = 15$, $0.35x = 14$, $x = 40$. Ab 40 Minuten ist der Tagespass gleich teuer, darüber günstiger.
5. Höhenunterschied 700 m: $18 - 0.0065 \cdot 700 = 18 - 4.55 = 13.45$ °C, also etwa 13.5 °C. Null Grad: $18 - 0.0065 \cdot d = 0$, $d \approx 2769$ m über dem Tal, also auf etwa 3270 m Höhe.
6. Luca hat waagrecht durch senkrecht gerechnet. Richtig: $m = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.
7. Die Geraden stehen senkrecht aufeinander. Das Produkt der Steigungen ist $-2 \cdot 0.5 = -1$. Dreht man ein Steigungsdreieck um 90°, werden waagrecht und senkrecht vertauscht und ein Vorzeichen wechselt.
8. $25 + 2x < 40$, also $2x < 15$ und $x < 7.5$. Bei weniger als 7.5 GB im Monat ist Abo A günstiger, bei genau 7.5 GB kosten beide 40 Fr.