Umgekehrt proportionale Zuordnungen

Einstieg

Für das Klassenlager mietet ihr ein Lagerhaus im Toggenburg für 1'440 Fr. Die Kosten werden gleichmässig aufgeteilt. Fahren 12 Personen mit, zahlt jede 120 Fr. Kommen mehr Personen mit, wird es für jede einzelne günstiger.

Hier gilt nicht „doppelt so viel, doppelt so teuer“, sondern „doppelt so viele Personen, halb so viel pro Person“. Solche Zuordnungen heissen umgekehrt proportional (oder indirekt proportional).

Erklärung

Zwei Merkmale

Eine Zuordnung ist umgekehrt proportional, wenn

1. zum Doppelten von $x$ die Hälfte von $y$ gehört, zum Dreifachen ein Drittel und so weiter, und
2. das Produkt $x \cdot y$ für alle Wertepaare gleich ist (Produktgleichheit).

Personen $x$	12	16	18	24
Kosten pro Person $y$ (in Fr.)	120	90	80	60
Produkt $x \cdot y$	1'440	1'440	1'440	1'440

Das Produkt ist der Gesamtbetrag. Die Funktionsgleichung lautet:

$y = \frac{c}{x} \qquad \text{hier: } y = \frac{1\text{'}440}{x}$

Der Graph

Der Graph einer umgekehrt proportionalen Zuordnung ist keine Gerade, sondern eine gebogene Kurve, eine Hyperbel. Sie geht nie durch den Nullpunkt und berührt die Achsen nie. Bewege den Schieberegler $c$:

Von $x = 2$ zu $x = 4$ verdoppelt sich $x$, und $y$ halbiert sich.

Der umgekehrte Dreisatz

Auch hier rechnest du über eine Einheit, aber mit der umgekehrten Operation: Wo beim proportionalen Dreisatz dividiert wird, wird hier multipliziert, und umgekehrt.

Beispiele

Beispiel 1: Fahrzeit. Für eine Strecke von 120 km braucht ein Auto bei 60 km/h 2 Stunden, bei 80 km/h 1.5 Stunden, bei 100 km/h 1.2 Stunden. Das Produkt ist immer 120, die Strecke. Gleichung: $t = \frac{120}{v}$.

Beispiel 2: Umgekehrter Dreisatz. 4 Helferinnen und Helfer brauchen 6 Stunden, um eine Wiese zu heuen. Wie lange brauchen 3?

Helfende	Stunden
4	6
1	6 · 4 = 24
3	24 : 3 = 8

Eine Person allein bräuchte 24 Stunden. Drei Personen brauchen 8 Stunden.

Beispiel 3: Erkennen. Bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 24 cm² gilt: Länge mal Breite ist immer 24. Ist die Breite 3 cm, ist die Länge 8 cm. Ist die Breite 6 cm, ist die Länge 4 cm. Länge und Breite sind umgekehrt proportional.

Merksatz

Eine Zuordnung ist umgekehrt proportional, wenn das Produkt $x \cdot y$ immer gleich ist. Dann gilt $y = \frac{c}{x}$, der Graph ist eine Hyperbel. Beim umgekehrten Dreisatz wird auf eine Einheit hochmultipliziert und dann dividiert.

Übungen

Grundlagen

1. Ein Car für die Schulreise kostet 900 Fr. Ergänze die Tabelle für die Kosten pro Person bei 15, 20, 25 und 30 Personen.
2. Proportional, umgekehrt proportional oder keins von beiden? a) Anzahl Personen und Anteil an einer Pizza, b) Geschwindigkeit und Fahrzeit für eine feste Strecke, c) Anzahl Stunden und Preis bei einer Velomiete ohne Grundgebühr, d) Länge und Breite eines Rechtecks mit 24 cm² Fläche.
3. 6 Personen brauchen 10 Tage, um einen Wanderweg instand zu stellen. Wie lange brauchen 4 Personen?

Weiter

4. Prüfe, ob die Tabelle umgekehrt proportional ist, und gib die Gleichung an. Welcher $y$-Wert gehört zu $x = 9$?

   $x$	2	3	4	6
   $y$	18	12	9	6

5. Mit 3 gleichen Pumpen wird ein Becken in 8 Stunden geleert. Wie lange dauert es mit 4 Pumpen? Wie viele Pumpen braucht es für 4 Stunden?

6. Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 36 cm². Berechne die Länge für die Breiten 3 cm, 4 cm, 6 cm und 9 cm. Zeichne die Wertepaare in ein Koordinatensystem.

Knobeln

7. Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung wird $x$ um 20 % grösser. Um wie viel Prozent wird $y$ kleiner?
8. Das Futter auf einer Alp reicht für 12 Ziegen 30 Tage. Nach 10 Tagen kommen 3 Ziegen dazu. Wie lange reicht das restliche Futter noch?

Lösungen

1. 15 Personen: 60 Fr., 20 Personen: 45 Fr., 25 Personen: 36 Fr., 30 Personen: 30 Fr.
2. a) Umgekehrt proportional (doppelt so viele Personen, halbes Stück). b) Umgekehrt proportional. c) Proportional. d) Umgekehrt proportional, das Produkt ist immer 24.
3. Eine Person bräuchte $6 \cdot 10 = 60$ Tage. 4 Personen: $60 : 4 = 15$ Tage.
4. Die Produkte sind $36$, $36$, $36$, $36$. Die Zuordnung ist umgekehrt proportional mit $y = \frac{36}{x}$. Zu $x = 9$ gehört $y = 4$.
5. Eine Pumpe bräuchte $3 \cdot 8 = 24$ Stunden. Mit 4 Pumpen: $24 : 4 = 6$ Stunden. Für 4 Stunden: $24 : 4 = 6$ Pumpen.
6. Längen: 12 cm, 9 cm, 6 cm, 4 cm. Die Punkte liegen auf einer Hyperbel, nicht auf einer Geraden.
7. Neues $y$: $y \cdot \frac{1}{1.2} \approx 0.833 \cdot y$. $y$ wird um etwa 16.7 % kleiner, nicht um 20 %.
8. Nach 10 Tagen reicht der Rest noch für 12 Ziegen 20 Tage, also für $12 \cdot 20 = 240$ Ziegentage. Für 15 Ziegen: $240 : 15 = 16$ Tage.