Proportionale Zuordnungen und Dreisatz

Einstieg

Am Wochenmarkt in Luzern kostet Bergkäse 3.20 Fr. pro 100 g. Lea kauft 200 g, ihr Vater 350 g, die Nachbarin ein ganzes Kilo. Wer doppelt so viel nimmt, zahlt doppelt so viel. Wer die Hälfte nimmt, zahlt die Hälfte.

So ein Zusammenhang heisst proportional. Er steckt hinter vielen Preisen, Rezepten und Fahrzeiten, und er ist der einfachste Fall einer Funktion.

Erklärung

Zuordnung und Wertetabelle

Jeder Menge Käse wird ein Preis zugeordnet. Die Wertepaare schreibst du in eine Wertetabelle:

Menge $x$ (in g)	100	200	350	1000
Preis $y$ (in Fr.)	3.20	6.40	11.20	32.00

Proportional: zwei Merkmale

Eine Zuordnung ist proportional, wenn

1. zum Doppelten, Dreifachen, zur Hälfte von $x$ das Doppelte, Dreifache, die Hälfte von $y$ gehört, und
2. der Quotient $\frac{y}{x}$ für alle Wertepaare gleich ist. Diese Zahl heisst Proportionalitätsfaktor $k$.

Beim Käse ist $k = \frac{3.20}{100} = 0.032$ Fr. pro Gramm. Daraus folgt die Funktionsgleichung:

$y = k \cdot x \qquad \text{hier: } y = 0.032 \cdot x$

Zu $x = 0$ gehört immer $y = 0$: Kein Käse kostet nichts.

Der Graph

Trägst du die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, liegen sie auf einer Geraden durch den Nullpunkt, einer Ursprungsgeraden. Je grösser $k$, desto steiler ist sie. Bewege den Schieberegler:

An der Stelle $x = 1$ liest du den Faktor $k$ direkt ab.

Der Dreisatz

Ohne Gleichung rechnest du mit dem Dreisatz: zuerst auf eine Einheit, dann auf die gesuchte Menge.

Beispiele

Beispiel 1: Dreisatz. 250 g Trockenfleisch kosten 8.50 Fr. Was kosten 400 g?

Menge	Preis
250 g	8.50 Fr.
1 g	8.50 Fr. : 250 = 0.034 Fr.
400 g	0.034 Fr. · 400 = 13.60 Fr.

Beispiel 2: Ist die Tabelle proportional?

$x$	2	5	8
$y$	7	17.5	28

$\frac{7}{2} = 3.5$, $\frac{17.5}{5} = 3.5$, $\frac{28}{8} = 3.5$. Alle Quotienten sind gleich, also ist die Zuordnung proportional mit $y = 3.5x$.

Beispiel 3: Nicht proportional. Eine Velomiete kostet 15 Fr. Grundgebühr und 12 Fr. pro Stunde. 1 Stunde kostet 27 Fr., 2 Stunden kosten 39 Fr. Das ist nicht das Doppelte. Wegen der Grundgebühr ist die Zuordnung nicht proportional.

Merksatz

Eine Zuordnung ist proportional, wenn der Quotient $\frac{y}{x}$ immer gleich ist. Dann gilt $y = k \cdot x$, und der Graph ist eine Gerade durch den Nullpunkt. Mit dem Dreisatz rechnest du über eine Einheit.

Übungen

Grundlagen

1. 3 kg Äpfel kosten 8.40 Fr. Ergänze die Wertetabelle für 1 kg, 5 kg und 0.5 kg und gib die Funktionsgleichung an.
2. Proportional oder nicht? Begründe. a) Velomiete mit Grundgebühr, b) Anzahl Liter Benzin und Preis, c) Alter und Körpergrösse eines Kindes, d) Anzahl gleicher Konzertbillette und Gesamtpreis.
3. 6 Gipfeli kosten 7.20 Fr. Was kosten 15 Gipfeli?

Weiter

4. Ein Zug fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit 1.5 km pro Minute. Stelle die Funktionsgleichung für die Strecke $y$ (in km) nach $x$ Minuten auf. Wie weit kommt er in 12 Minuten? Wie lange braucht er für 45 km?
5. Angenommen, 1 Fr. entspricht 1.06 Euro. Wie viele Euro bekommst du für 250 Fr.? Wie viele Franken sind 53 Euro?
6. Ein Röstirezept für 4 Personen braucht 800 g Kartoffeln. Wie viele Kartoffeln brauchst du für 6 Personen und für 3 Personen?

Knobeln

7. Ist der Umfang eines Quadrats proportional zu seiner Seitenlänge? Und der Flächeninhalt? Begründe mit einer kleinen Wertetabelle.
8. In einer proportionalen Zuordnung gehört zu $x = 12$ der Wert $y = 9$. Welcher Wert gehört zu $x = 20$? Welcher $x$-Wert gehört zu $y = 1.5$?

Lösungen

1. $k = 8.40 : 3 = 2.80$ Fr. pro kg. 1 kg: 2.80 Fr., 5 kg: 14 Fr., 0.5 kg: 1.40 Fr. Gleichung: $y = 2.8x$.
2. a) Nicht proportional, wegen der Grundgebühr ist der Quotient nicht gleich. b) Proportional, der Literpreis ist der Faktor. c) Nicht proportional, ein doppelt so altes Kind ist nicht doppelt so gross. d) Proportional, der Billettpreis ist der Faktor.
3. 1 Gipfeli: 7.20 Fr. : 6 = 1.20 Fr. 15 Gipfeli: 1.20 Fr. · 15 = 18 Fr.
4. $y = 1.5x$. Nach 12 Minuten: $1.5 \cdot 12 = 18$ km. Für 45 km: $45 : 1.5 = 30$ Minuten.
5. $250 \cdot 1.06 = 265$ Euro. $53 : 1.06 = 50$ Fr.
6. Für 1 Person: 200 g. Für 6 Personen: 1200 g, für 3 Personen: 600 g.
7. Umfang: Seite 1, 2, 3 ergibt Umfang 4, 8, 12. Der Quotient ist immer 4, also proportional ($u = 4s$). Fläche: Seite 1, 2, 3 ergibt Fläche 1, 4, 9. Doppelte Seite ergibt vierfache Fläche, also nicht proportional.
8. $k = 9 : 12 = 0.75$. Zu $x = 20$ gehört $y = 0.75 \cdot 20 = 15$. Zu $y = 1.5$ gehört $x = 1.5 : 0.75 = 2$.