Lineare Funktionen: Steigung und y-Achsenabschnitt

Einstieg

Ein Taxi verlangt 6 Fr. Grundtaxe und 3.80 Fr. pro Kilometer. Für 0 km zahlst du 6 Fr., für 1 km 9.80 Fr., für 2 km 13.60 Fr. Jeder weitere Kilometer kostet gleich viel mehr.

Proportional ist das nicht, denn bei 0 km kostet es schon etwas. Der Graph ist aber trotzdem eine Gerade. Solche Funktionen heissen lineare Funktionen.

Erklärung

Die Funktionsgleichung

Eine lineare Funktion hat die Gleichung

$y = m \cdot x + q$

• $q$ ist der y-Achsenabschnitt: Dort schneidet die Gerade die $y$-Achse, im Punkt $(0 \mid q)$. Beim Taxi ist $q = 6$, die Grundtaxe.
• $m$ ist die Steigung: Um so viel ändert sich $y$, wenn $x$ um 1 grösser wird. Beim Taxi ist $m = 3.8$, der Preis pro Kilometer.

Taxi: $y = 3.8x + 6$. Ist $q = 0$, ist die Funktion proportional: $y = m \cdot x$.

Manche Lehrmittel schreiben $y = mx + b$. Gemeint ist dasselbe.

Probiere die beiden Schieberegler aus:

• $m > 0$: Die Gerade steigt. $m < 0$: Sie fällt. $m = 0$: Sie ist waagrecht.
• Je grösser der Betrag von $m$, desto steiler die Gerade.
• Geraden mit gleicher Steigung sind parallel.

Das Steigungsdreieck

Zwischen zwei Punkten $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ auf der Geraden zeichnest du ein Steigungsdreieck: waagrecht nach rechts, dann senkrecht. Die Steigung ist

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{senkrechte Änderung}}{\text{waagrechte Änderung}}$

Wie gross du das Dreieck zeichnest, spielt bei einer Geraden keine Rolle.

Steigung in Prozent

Auf Strassenschildern steht die Steigung in Prozent. 12 % heisst: Auf 100 m waagrechter Strecke geht es 12 m hinauf. Das ist $m = 0.12$.

Beispiele

Beispiel 1: Ablesen. $y = -2x + 5$: Steigung $m = -2$, die Gerade fällt. y-Achsenabschnitt $q = 5$.

Beispiel 2: Steigung aus zwei Punkten. $A(1 \mid 2)$ und $B(3 \mid 8)$:

$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Beispiel 3: Zeichnen ohne Wertetabelle. $y = \frac{2}{3}x - 1$

1. Den Punkt $(0 \mid -1)$ auf der $y$-Achse eintragen.
2. Von dort 3 nach rechts und 2 nach oben gehen: Punkt $(3 \mid 1)$.
3. Die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

Beispiel 4: Bergstrasse. Eine Passstrasse steigt auf 2.5 km waagrechter Strecke um 200 m. Steigung: $\frac{200}{2500} = 0.08 = 8\,\%$.

Merksatz

Lineare Funktion: $y = m \cdot x + q$. Der Graph ist eine Gerade. $q$ ist der y-Achsenabschnitt, $m$ die Steigung: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Steigung in Prozent ist $m \cdot 100\,\%$.

Übungen

Grundlagen

1. Gib Steigung und y-Achsenabschnitt an: a) $y = 3x + 2$, b) $y = -x + 5$, c) $y = 0.5x$, d) $y = 4$.
2. Berechne die Steigung der Geraden durch: a) $A(1 \mid 2)$ und $B(3 \mid 8)$, b) $C(0 \mid 4)$ und $D(4 \mid 2)$, c) $E(-2 \mid 1)$ und $F(2 \mid 1)$.
3. Zeichne die Geraden mit y-Achsenabschnitt und Steigungsdreieck: a) $y = 2x - 1$, b) $y = -0.5x + 3$.

Weiter

4. Eine Strasse hat 8 % Steigung. Wie viele Meter steigt sie auf 250 m waagrechter Strecke?
5. Eine Bahnstrecke steigt auf 1200 m waagrechter Strecke um 30 m. Wie gross ist die Steigung in Prozent?
6. Welche Geraden sind parallel? $g_1: y = 2x + 1$, $g_2: y = -2x + 1$, $g_3: y = 2x - 3$, $g_4: y = 0.5x + 1$. Welche schneiden sich auf der $y$-Achse?

Knobeln

7. Die Stoosbahn im Kanton Schwyz erreicht an ihrer steilsten Stelle eine Steigung von 110 %. Was bedeutet das? Ist die Strecke dort steiler oder flacher als 45°? Tipp: Bei 45° sind waagrechte und senkrechte Strecke gleich lang.
8. Eine Gerade geht durch $(0 \mid 3)$ und ist parallel zu $y = -4x + 1$. Wie lautet ihre Gleichung? Wo schneidet sie die $x$-Achse?

Lösungen

1. a) $m = 3$, $q = 2$. b) $m = -1$, $q = 5$. c) $m = 0.5$, $q = 0$ (proportional). d) $m = 0$, $q = 4$ (waagrechte Gerade).
2. a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$. b) $m = \frac{2 - 4}{4 - 0} = -0.5$. c) $m = \frac{1 - 1}{2 - (-2)} = 0$.
3. a) Start bei $(0 \mid -1)$, dann 1 nach rechts und 2 nach oben, zum Beispiel zu $(1 \mid 1)$. b) Start bei $(0 \mid 3)$, dann 2 nach rechts und 1 nach unten, zum Beispiel zu $(2 \mid 2)$.
4. $0.08 \cdot 250 = 20$ m.
5. $30 : 1200 = 0.025 = 2.5\,\%$.
6. $g_1$ und $g_3$ sind parallel (beide $m = 2$). $g_1$, $g_2$ und $g_4$ schneiden sich auf der $y$-Achse im Punkt $(0 \mid 1)$.
7. Auf 100 m waagrechter Strecke geht es 110 m hinauf. Die senkrechte Strecke ist länger als die waagrechte, also ist es steiler als 45°.
8. Parallel heisst gleiche Steigung: $y = -4x + 3$. Schnitt mit der $x$-Achse: $-4x + 3 = 0$, also $x = 0.75$. Der Punkt ist $(0.75 \mid 0)$.