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Illustration: eine Balkenwaage im Gleichgewicht auf einem Schulpult. Links liegt ein pinkes Paket mit Schleife, rechts liegen zwei Metallgewichte.

Mathematik · Deutschschweiz · Zyklus 3

Terme und lineare Gleichungen lösen

Eine Unterrichtsreihe zu Termen und linearen Gleichungen für die 1. und 2. Sek nach dem Lehrplan 21. Sie beginnt mit Variablen und dem Zusammenfassen von Termen, führt über das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren und Ausklammern und dann mit dem Waagemodell zum Lösen von Gleichungen. Äquivalenzumformungen, Gleichungen mit Klammern und Brüchen sowie Textaufgaben in fünf Schritten schliessen die Reihe ab.

Schuljahre
7–8
Schultypen
Sekundarschule
Umfang
9 Unterrichtsstunden
Fach
Mathematik
Region
Deutschschweiz
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Lernziele

  • Die Schülerinnen und Schüler stellen Terme zu Sachsituationen auf und berechnen ihren Wert durch Einsetzen.
  • Sie fassen gleichartige Glieder zusammen und formen Terme mit dem Distributivgesetz um.
  • Sie lösen Gleichungen durch Probieren, Rückwärtsrechnen und mit dem Waagemodell und machen die Probe.
  • Sie lösen lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen, auch mit Klammern und Brüchen.
  • Sie übersetzen Sachaufgaben in Gleichungen und prüfen das Ergebnis am Text.

Bezug zum Lehrplan 21

Lehrplan 21 (Deutschschweiz), Fachbereichslehrplan Mathematik

  • Kompetenz: MA.1.A.4 Die Schülerinnen und Schüler können Terme vergleichen und umformen, Gleichungen lösen, Gesetze und Regeln anwenden.
  • Kompetenzstufe: MA.1.A.4.h können Gleichungen mit Variablen durch Einsetzen oder Umkehroperationen lösen. können die Rechenregeln Punkt vor Strich und die Klammerregeln befolgen (z.B. 4 + 8 - 2 · 3 = 6; (4 + 8 - 2) · 3 = 30; 4 + (8 - 2) · 3 = 22). Erweiterung: können Teilbarkeitsregeln durch 3, 4, 6, 8, 9, 25, 50 nutzen und Teiler natürlicher Zahlen bestimmen.
  • Kompetenzstufe: MA.1.A.4.i können ein Produkt mit gleichen Faktoren als Potenz schreiben und umgekehrt (z.B. 15 · 15 · 15 = 15³ ; a · a · a · a = a⁴). können das Distributivgesetz bei Termumformungen anwenden (z.B. a · (b + c) = a · b + a · c = ab + ac). können Rechenergebnisse sinnvoll runden. Erweiterung: verstehen die Konventionen über die Notation algebraischer Terme (z.B. abc = a · b · c aber 789 ≠ 7 · 8 · 9).
  • Kompetenzstufe: MA.1.A.4.j Erweiterung: können lineare Gleichungen mit einer Variablen mit Äquivalenzumformungen lösen (z.B. 5x + 3 = 7). Erweiterung: können Polynome addieren und subtrahieren (z.B. 3(a² + 2b) - 2(a² + b) = a² + 4b). Erweiterung: können Terme ausmultiplizieren und ausklammern (Faktorzerlegung). Erweiterung: können Gleichungen sprachlich deuten (z.B. x = y + 1 → x ist um 1 grösser als y) und Textgleichungen umsetzen. Erweiterung: können Terme mit Variablen umformen bzw. sinnvoll vereinfachen (ausklammern, ausmultiplizieren, kürzen und Vorzeichenregeln).
  • Kompetenzstufe: MA.1.A.4.k können Terme mit Variablen addieren und subtrahieren (z.B. a + 2a + b + 3b + ¼ + ⅜ = 3a + 4b + ⅝).
  • Kompetenz: MA.1.C.2 Die Schülerinnen und Schüler können Anzahlen, Zahlenfolgen und Terme veranschaulichen, beschreiben und verallgemeinern.
  • Kompetenzstufe: MA.1.C.2.i können Zusammenhänge zwischen Termen und Figuren beschreiben (z.B. n(n+1) als Rechteck interpretieren; Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen als Quadrat darstellen: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 · 4). können Terme zu Streckenlängen, Flächeninhalten und Volumen bilden und entsprechende Terme deuten. können arithmetische und algebraische Terme veranschaulichen, insbesondere mit Text, Symbolen und Skizzen (z.B. das Produkt zweier Binome, die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen). können arithmetische Gesetzmässigkeiten mit Buchstabentermen verallgemeinern (z.B. 3(4 + 5) = 3 · 4 + 3 · 5 → a(b + c) = ab + ac). Erweiterung: können arithmetische Strukturen algebraisch formulieren (z.B. die Produkte 2 · 3 · 4 / 3 · 4 · 5 / 5 · 6 · 7, ... sind durch 6 teilbar → a(a + 1) · (a + 2) · ⅙ ist ganzzahlig).
  • Kompetenzstufe: MA.1.C.2.j können Terme geometrisch interpretieren (z.B. a² · b als Quader mit quadratischer Grundfläche, a · b als Rechteck mit den Seitenlängen a und b und a + b als Summe zweier Strecken). können lineare Figurenfolgen in einen Term übertragen (z.B. die Anzahl benötigte Hölzchen, um eine Reihe von n gleichseitigen Dreiecken zu legen, als 2n + 1).

Ablauf

  1. Abschnitt 1

    Terme mit Variablen

    Variable und Term, Wert eines Terms durch Einsetzen, gleichartige Glieder zusammenfassen, Terme zu Sachsituationen und Figurenfolgen aufstellen.

  2. Abschnitt 2

    Terme ausmultiplizieren und ausklammern

    Distributivgesetz am Rechteck, Ausmultiplizieren mit Vorzeichen, Minus vor der Klammer, Ausklammern, Terme vereinfachen.

  3. Abschnitt 3

    Gleichungen lösen mit der Waage

    Gleichung, Lösung und Probe, Probieren mit Tabelle, Rückwärtsrechnen mit Umkehroperationen, Waagemodell, Gleichungen ohne Lösung.

    • Lektion

      Gleichungen lösen: Probieren, Rückwärtsrechnen, Waage

      Auf einer Waage liegen links drei gleich schwere Pakete und zwei Gewichte zu je 1 kg. Rechts liegen Gewichte von zusammen 11 kg. Die Waage ist im…

    • Aufgabe

      Waage-Rätsel erfinden

      Zeichne eine Waage im Gleichgewicht mit gleichen Paketen und Gewichten auf beiden Seiten, zum Beispiel 4 Pakete und 3 kg links, 1 Paket und 15 kg rechts.

      1. Schreibe die passende Gleichung auf.
      2. Löse sie, indem du auf beiden Seiten dasselbe wegnimmst. Notiere jeden Schritt.
      3. Tausche dein Rätsel mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler und prüft gegenseitig mit der Probe.

  4. Abschnitt 4

    Lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen

    Erlaubte Umformungen, Unbekannte auf beiden Seiten, Schreibweise mit Strich, Gleichungen mit Dezimalzahlen, Abos und Taxitarife vergleichen.

  5. Abschnitt 5

    Textaufgaben, Klammern und Brüche

    Gleichungen mit Klammern und Brüchen, Sachaufgaben in fünf Schritten, typische Fehler der ganzen Reihe, gemischte Übungen.

    • Lektion

      Textaufgaben mit Gleichungen lösen

      Drei Klassen sammeln Geld für ein gemeinsames Schulfest und kommen zusammen auf 1'020 Fr. Klasse 2b hat 60 Fr. mehr gesammelt als Klasse 2a. Klasse…

    • Material

      Wiederholung: Gleichungen lösen

      ZUM-Unterrichten, Lizenz: CC BY-SA 4.0

    • Aufgabe

      Eine Sachaufgabe aus dem Alltag

      Schreibe eine eigene Sachaufgabe, die auf eine lineare Gleichung führt. Ideen: ein Abo-Vergleich, eine Klassenkasse, ein Velo- oder Skiverleih.

      1. Notiere die Aufgabe so, dass sie eindeutig lösbar ist.
      2. Löse sie mit den fünf Schritten aus dem Lerntext.
      3. Prüfe die Lösung am Text und formuliere einen Antwortsatz.

Hinweise für Lehrpersonen

Zeitplan (etwa 9 Lektionen)

AbschnittLektionenSchwerpunkt
1 Terme mit Variablen2Term aufstellen, Wert berechnen, gleichartige Glieder zusammenfassen
2 Ausmultiplizieren und ausklammern2Distributivgesetz am Rechteck, Minus vor der Klammer
3 Gleichungen mit der Waage1Lösung, Probe, Probieren, Rückwärtsrechnen, Waagemodell
4 Äquivalenzumformungen2Unbekannte auf beiden Seiten, Notation mit Strich, Probe
5 Klammern, Brüche, Textaufgaben2Fünf Schritte für Sachaufgaben, Fehlertabelle, Sicherung

Bezug zum Lehrplan 21

Gleichungen durch Einsetzen oder Umkehroperationen lösen (MA.1.A.4.h) liegt am Ende des Zyklus 2. Abschnitt 3 nimmt diese Stufe als Brücke auf. Das Distributivgesetz (MA.1.A.4.i) gehört zum Zyklus 3 vor dem Orientierungspunkt. Lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen, das Ausmultiplizieren und Ausklammern und das Umsetzen von Textgleichungen stehen als Erweiterung in der Stufe MA.1.A.4.j. Das Zusammenfassen von Termen mit Variablen (MA.1.A.4.k) liegt erst nach dem Orientierungspunkt; Abschnitt 1 führt es trotzdem früh ein, weil alle späteren Umformungen darauf aufbauen. Terme zu Figuren und das Verallgemeinern mit Buchstaben (MA.1.C.2.i und j) kommen in den Abschnitten 1 und 2 vor.

Für Lernende mit Grundansprüchen eignen sich in Abschnitt 4 die Aufgaben Grundlagen 1a, 1c und 2c. Sie lassen sich auch rückwärts rechnen. Die übrigen Grundlagenaufgaben (1b, 1d, 2a, 2b, 3) haben die Unbekannte auf beiden Seiten und brauchen Äquivalenzumformungen.

Didaktische Hinweise

  • Bauen Sie die Waage aus Abschnitt 3 im Schulzimmer nach (Balkenwaage, undurchsichtige Säckchen, Gewichte). Wer die Waage in der Hand hatte, versteht „auf beiden Seiten dasselbe tun“ dauerhaft.
  • Verlangen Sie von Anfang an die Probe in der ursprünglichen Gleichung. Sie macht die Lernenden unabhängig von der Lösungsseite.
  • Die Notation mit senkrechtem Strich (| −5x) ist in Deutschschweizer Lehrmitteln verbreitet. Wenn Ihr Lehrmittel eine andere Schreibweise nutzt, übernehmen Sie diese im Kurs.
  • Bei Sachaufgaben lohnt es sich, das Festlegen der Variablen schriftlich einzufordern („x = Betrag der Klasse 2a in Franken“). Viele Fehler entstehen, weil unklar ist, wofür x steht.

Typische Fehlvorstellungen

  • Variable als Abkürzung: „5a“ wird als „5 Äpfel“ gelesen statt als „5 mal eine Zahl“. Das führt zu 3a + 2b = 5ab.
  • Klammer nur teilweise aufgelöst: 2(x + 5) = 2x + 5.
  • Minus vor der Klammer: Nur das erste Glied wechselt das Vorzeichen.
  • Gleichheitszeichen als „ergibt“: Lernende schreiben Rechenketten wie 3x = 15 = 5. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei gleichwertige Seiten.
  • Nur eine Seite umgeformt, vor allem beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner.

Differenzierung

  • Grundlagenaufgaben haben ganzzahlige oder einfache Lösungen. In Abschnitt 4 lassen sich nur 1a, 1c und 2c rückwärts rechnen, die anderen haben die Unbekannte auf beiden Seiten.
  • Weiter-Aufgaben verlangen Gleichungen mit der Unbekannten auf beiden Seiten oder ein eigenes Aufstellen.
  • Knobelaufgaben (Gleichungen ohne oder mit unendlich vielen Lösungen, Multiplizieren mit 0, Altersaufgabe, Bruchaufgabe) sind für erweiterte Anforderungen gedacht.

Handlungsaspekte

  • Operieren und Benennen: Term, Variable, Gleichung, Lösung, Probe; Terme umformen, Gleichungen lösen.
  • Erforschen und Argumentieren: Termumformungen am Rechteck begründen, Teilbarkeit mit Termen zeigen, Fehler in Rechnungen finden.
  • Mathematisieren und Darstellen: Sachsituationen (Velomiete, Taxi, Handyabo, Schulreise) in Terme und Gleichungen übersetzen.

Häufige Fragen

In welchem Schuljahr werden Gleichungen nach Lehrplan 21 gelöst?

Einfache Gleichungen durch Einsetzen und Rückwärtsrechnen gehören zum Ende des Zyklus 2. Termumformungen mit dem Distributivgesetz und Äquivalenzumformungen folgen im Zyklus 3, meist in der 1. und 2. Sek.

Ist das Material auch für Lernende mit Grundansprüchen geeignet?

Ja, mit Auswahl. Äquivalenzumformungen und das Ausklammern (Abschnitt 2) stehen im Lehrplan 21 als Erweiterung (MA.1.A.4.j), das Zusammenfassen von Termen (MA.1.A.4.k) liegt nach dem Orientierungspunkt. Für Grundansprüche eignen sich Abschnitt 3, das Ausmultiplizieren aus Abschnitt 2 und in Abschnitt 4 die Aufgaben 1a, 1c und 2c.

Wie viele Lektionen braucht die Reihe?

Etwa 9 Lektionen. Wenn Sie die Waage im Schulzimmer nachbauen lassen, planen Sie eine Lektion mehr ein.

Kommen Gleichungssysteme vor?

Nein. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten liegen im Lehrplan 21 nach dem Orientierungspunkt und gehören in eine eigene Reihe.

Quellen

Bildnachweise

  • Titelbild: KI-generiert
  • Rechteck mit der Höhe 4. Die Breite besteht aus x und 3. Das Rechteck ist in zwei Teilflächen geteilt: 4 mal x und 4 mal 3. Darunter steht 4 mal Klammer x plus 3 gleich 4x plus 12.: Eigene Darstellung
  • Eine Balkenwaage im Gleichgewicht. Links liegen drei pinke Pakete mit der Aufschrift x und zwei Gewichte zu 1 kg. Rechts liegen Gewichte zu 5 kg, 5 kg und 1 kg. Darüber steht 3x plus 2 gleich 11.: Eigene Darstellung

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