Äquivalenzumformungen: Gleichungen Schritt für Schritt lösen

Einstieg

Zwei Handyabos: Abo A kostet 20 Fr. im Monat plus 0.10 Fr. pro Gesprächsminute. Abo B kostet immer 35 Fr. Bei wie vielen Minuten kosten beide gleich viel?

Die Gleichung dazu lautet $20 + 0.1x = 35$. Die kannst du noch rückwärts rechnen. Aber was ist mit einer Gleichung wie $8x - 3 = 5x + 12$? Hier steht die Unbekannte auf beiden Seiten, und Rückwärtsrechnen funktioniert nicht mehr. Du brauchst ein Verfahren, das immer klappt.

Erklärung

Äquivalenzumformungen

Bei der Waage hast du gesehen: Das Gleichgewicht bleibt, wenn du auf beiden Seiten dasselbe tust. Bei Gleichungen heissen solche Schritte Äquivalenzumformungen. Sie verändern die Gleichung, aber nicht ihre Lösung.

Erlaubt sind:

• auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren,
• beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl dividieren, die nicht 0 ist.

Den Schritt schreibst du hinter einen senkrechten Strich, zum Beispiel $\mid -5x$.

Das Ziel

Am Ende soll die Unbekannte allein auf einer Seite stehen: $x = \ldots$ Dafür gehst du meist so vor:

1. Beide Seiten vereinfachen (Klammern auflösen, zusammenfassen).
2. Alle Glieder mit $x$ auf eine Seite bringen.
3. Alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite bringen.
4. Durch die Zahl vor dem $x$ dividieren.
5. Probe in der ursprünglichen Gleichung.

Beispiele

Beispiel 1: Unbekannte auf einer Seite.

$\begin{aligned} 4x + 7 &= 31 && \mid -7 \\ 4x &= 24 && \mid : 4 \\ x &= 6 \end{aligned}$

Probe: $4 \cdot 6 + 7 = 31$.

Beispiel 2: Unbekannte auf beiden Seiten.

$\begin{aligned} 8x - 3 &= 5x + 12 && \mid -5x \\ 3x - 3 &= 12 && \mid +3 \\ 3x &= 15 && \mid : 3 \\ x &= 5 \end{aligned}$

Probe: links $8 \cdot 5 - 3 = 37$, rechts $5 \cdot 5 + 12 = 37$.

Beispiel 3: Negative Zahl vor dem $x$. Bringe die $x$ auf die Seite, auf der danach mehr $x$ stehen. So bleibt die Zahl davor positiv.

$\begin{aligned} 2 - 3x &= x - 10 && \mid +3x \\ 2 &= 4x - 10 && \mid +10 \\ 12 &= 4x && \mid : 4 \\ 3 &= x \end{aligned}$

Probe: links $2 - 9 = -7$, rechts $3 - 10 = -7$.

Beispiel 4: Handyabos.

$\begin{aligned} 20 + 0.1x &= 35 && \mid -20 \\ 0.1x &= 15 && \mid : 0.1 \\ x &= 150 \end{aligned}$

Bei 150 Minuten kosten beide Abos 35 Fr. Wer mehr telefoniert, fährt mit Abo B günstiger.

Merksatz

Äquivalenzumformungen verändern eine Gleichung, aber nicht ihre Lösung: Auf beiden Seiten dasselbe addieren oder subtrahieren, beide Seiten mit derselben Zahl ungleich 0 multiplizieren oder durch sie dividieren. Ziel: $x$ allein auf einer Seite. Zum Schluss die Probe.

Übungen

Grundlagen

1. Löse mit Äquivalenzumformungen: a) $3x + 4 = 19$, b) $7x - 5 = 2x + 15$, c) $9 - 2x = 3$, d) $4x + 6 = x - 9$.
2. Löse und mache die Probe: a) $5x + 3 = 2x + 18$, b) $12 - 3x = x + 4$, c) $0.4x + 1.2 = 2$.
3. Finde den Fehler in dieser Rechnung und löse richtig: $6x - 4 = 2x + 8 \mid -2x$, also $4x - 4 = 8 \mid -4$, also $4x = 4$, also $x = 1$.

Weiter

4. Vereinfache zuerst und löse dann: $6x - 4 - 2x = 3x + 5$.
5. Ein Taxi verlangt eine Grundtaxe von 6 Fr. und 3.80 Fr. pro Kilometer. Lea bezahlt 44 Fr. Wie weit ist sie gefahren?
6. Lukas hat 120 Fr. und spart jede Woche 15 Fr. dazu. Mia hat 30 Fr. und spart jede Woche 24 Fr. Nach wie vielen Wochen haben beide gleich viel Geld? Wie viel ist es dann?

Knobeln

7. Warum darf man beide Seiten einer Gleichung nicht mit 0 multiplizieren? Zeige es an der Gleichung $x + 2 = 5$.
8. Für welche Zahl $a$ hat die Gleichung $ax + 4 = 10$ die Lösung $x = 3$?

Lösungen

1. a) $3x = 15$, $x = 5$. b) $5x - 5 = 15$, $5x = 20$, $x = 4$. c) $-2x = -6$, $x = 3$. d) $3x + 6 = -9$, $3x = -15$, $x = -5$.
2. a) $3x + 3 = 18$, $3x = 15$, $x = 5$. Probe: $28 = 28$. b) $12 = 4x + 4$, $8 = 4x$, $x = 2$. Probe: $6 = 6$. c) $0.4x = 0.8$, $x = 2$. Probe: $0.8 + 1.2 = 2$.
3. Der Fehler steckt im zweiten Schritt. Um die $-4$ wegzubringen, muss man $+4$ rechnen, nicht $-4$. Richtig: $4x - 4 = 8 \mid +4$, also $4x = 12$, also $x = 3$. Probe: links $18 - 4 = 14$, rechts $6 + 8 = 14$.
4. $4x - 4 = 3x + 5 \mid -3x$, also $x - 4 = 5 \mid +4$, also $x = 9$. Probe: links $54 - 4 - 18 = 32$, rechts $27 + 5 = 32$.
5. $6 + 3.8x = 44 \mid -6$, also $3.8x = 38 \mid : 3.8$, also $x = 10$. Lea ist 10 km gefahren.
6. $120 + 15w = 30 + 24w \mid -15w$, also $120 = 30 + 9w \mid -30$, also $90 = 9w$, also $w = 10$. Nach 10 Wochen haben beide $120 + 150 = 270$ Fr.
7. Mit 0 multipliziert wird $x + 2 = 5$ zu $0 = 0$. Diese Gleichung stimmt für jede Zahl, die ursprüngliche nur für $x = 3$. Die Lösung hat sich verändert, also ist das keine Äquivalenzumformung.
8. Einsetzen: $3a + 4 = 10 \mid -4$, also $3a = 6$, also $a = 2$.