Terme mit Variablen aufstellen und zusammenfassen

Einstieg

Am Zürichsee vermietet ein Laden Velos. Die Preisliste sagt: „Grundgebühr 15 Fr., pro Stunde 12 Fr.“ Wer 3 Stunden fährt, bezahlt 15 + 12 · 3 = 51 Fr. Wer 5 Stunden fährt, bezahlt 15 + 12 · 5 = 75 Fr.

Die Rechnung ist jedes Mal gleich gebaut, nur die Anzahl Stunden ändert sich. Statt für jede Dauer neu zu schreiben, setzt du einen Buchstaben für die Stunden ein:

$15 + 12 \cdot h$

Das ist ein Term mit einer Variablen. Mit Termen beschreibst du Rechnungen, die für viele Zahlen gelten.

Erklärung

Variable und Term

• Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl, meist ein Buchstabe wie $x$, $a$ oder $n$.
• Ein Term ist ein Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, zum Beispiel $3x + 4$ oder $2a - b$. Ein Term enthält kein Gleichheitszeichen.

Zwischen Zahl und Variable darfst du den Malpunkt weglassen: $12 \cdot h$ schreibst du kurz $12h$. Auch zwischen zwei Variablen: $a \cdot b = ab$. Zwischen zwei Zahlen nicht, denn 34 ist nicht $3 \cdot 4$.

Den Wert eines Terms berechnen

Du setzt für die Variable eine Zahl ein und rechnest aus. Dabei gilt Punkt vor Strich. Negative Zahlen setzt du in Klammern.

Gleichartige Glieder zusammenfassen

Glieder mit derselben Variablen heissen gleichartig. Du darfst sie zusammenfassen, indem du die Zahlen davor addierst oder subtrahierst:

$4a + 7a - 2a = 9a$

Denk daran: $a$ steht für eine Zahl. Deshalb gilt $4a + 7a - 2a = (4 + 7 - 2) \cdot a = 9a$, egal welche Zahl $a$ ist. Verschiedene Variablen fasst du nicht zusammen: $3x + 5y$ bleibt $3x + 5y$, weil $x$ und $y$ für verschiedene Zahlen stehen können.

Zahlen ohne Variable fasst du mit Zahlen zusammen. Steht vor einer Variablen keine Zahl, ist es die 1: $x = 1x$.

Beispiele

Beispiel 1: Velomiete. Wert von $15 + 12h$ für $h = 4$: $15 + 12 \cdot 4 = 15 + 48 = 63$. Vier Stunden kosten 63 Fr.

Beispiel 2: Einsetzen mit negativer Zahl. Wert von $3x + 4$ für $x = -1$:

$3 \cdot (-1) + 4 = -3 + 4 = 1$.

Beispiel 3: Zusammenfassen. $3x + 5y - x + 2y$

Ordne zuerst nach Variablen: $3x - x + 5y + 2y$. Dann zusammenfassen: $2x + 7y$.

Beispiel 4: Mit Zahlen und Brüchen. $x + 2x + \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$

Variablen: $x + 2x = 3x$. Zahlen: $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$. Ergebnis: $3x + \frac{5}{8}$.

Beispiel 5: Term aufstellen. Ein Hallenbad verlangt 9 Fr. für Erwachsene und 5 Fr. für Jugendliche. Für $e$ Erwachsene und $j$ Jugendliche bezahlt man $9e + 5j$ Franken. Zwei Erwachsene und drei Jugendliche: $9 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 33$ Fr.

Merksatz

Ein Term beschreibt eine Rechnung mit Variablen. Den Wert berechnest du durch Einsetzen. Gleichartige Glieder fasst du zusammen, indem du die Zahlen davor verrechnest: $4a + 7a = 11a$. Verschiedene Variablen bleiben getrennt.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne den Wert von $3x + 4$ für $x = 2$, $x = 0$, $x = -1$ und $x = 2.5$.
2. Fasse zusammen: a) $4a + 7a - 2a$, b) $3x + 5y - x + 2y$, c) $2a + 3 + 5a - 8$, d) $x + 2x + \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$.
3. Ein Kinobillett kostet 17 Fr., ein Popcorn 6 Fr. Stelle einen Term für $k$ Billette und $p$ Popcorn auf. Was kosten 4 Billette und 2 Popcorn?

Weiter

4. Ein Dreieck hat die Seiten $x$, $x + 3$ und $2x$. Stelle einen Term für den Umfang auf und vereinfache ihn. Wie gross ist der Umfang für $x = 5$ cm?
5. Aus Zündhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt. Für $n$ Quadrate braucht man $3n + 1$ Hölzer. Prüfe den Term für 1 und 2 Quadrate und berechne, wie viele Hölzer 10 Quadrate brauchen.
6. Jonas schreibt: $3a + 2b = 5ab$. Erkläre, was falsch ist, und prüfe mit $a = 1$ und $b = 1$.

Knobeln

7. Denke dir eine Zahl. Verdopple sie, addiere 6, halbiere das Ergebnis und subtrahiere die gedachte Zahl. Probiere mit drei Zahlen. Erkläre mit einem Term, warum immer dasselbe herauskommt.
8. Quadratische Tische werden zu einer langen Reihe zusammengestellt. An einen Tisch passen 4 Personen. Bei $n$ Tischen in einer Reihe passen $2n + 2$ Personen. Prüfe den Term für einen Tisch und berechne, wie viele Personen an 8 Tischen Platz haben.

Lösungen

1. $x = 2$: $3 \cdot 2 + 4 = 10$. $x = 0$: $4$. $x = -1$: $-3 + 4 = 1$. $x = 2.5$: $7.5 + 4 = 11.5$.
2. a) $9a$, b) $2x + 7y$, c) $7a - 5$, d) $3x + \frac{5}{8}$.
3. Term: $17k + 6p$. Für $k = 4$ und $p = 2$: $17 \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 68 + 12 = 80$ Fr.
4. $u = x + (x + 3) + 2x = 4x + 3$. Für $x = 5$ cm: $4 \cdot 5 + 3 = 23$ cm.
5. $n = 1$: $3 + 1 = 4$ Hölzer (ein Quadrat). $n = 2$: $6 + 1 = 7$ Hölzer (die mittlere Seite zählt nur einmal). $n = 10$: $30 + 1 = 31$ Hölzer.
6. $3a$ und $2b$ sind nicht gleichartig und lassen sich nicht zusammenfassen. Mit $a = 1$, $b = 1$: links $3 + 2 = 5$, rechts $5 \cdot 1 \cdot 1 = 5$. Hier stimmt es zufällig. Mit $a = 2$, $b = 1$: links $6 + 2 = 8$, rechts $5 \cdot 2 \cdot 1 = 10$. Die Aussage ist also falsch.
7. Es kommt immer 3 heraus. Mit der Zahl $x$: $(2x + 6) : 2 - x = x + 3 - x = 3$.
8. Ein Tisch: $2 \cdot 1 + 2 = 4$ Personen, das stimmt. 8 Tische: $2 \cdot 8 + 2 = 18$ Personen.