Gleichungen lösen: Probieren, Rückwärtsrechnen, Waage

Einstieg

Auf einer Waage liegen links drei gleich schwere Pakete und zwei Gewichte zu je 1 kg. Rechts liegen Gewichte von zusammen 11 kg. Die Waage ist im Gleichgewicht. Wie schwer ist ein Paket?

Wenn du das Gewicht eines Pakets $x$ nennst, kannst du die Waage als Gleichung schreiben:

$3x + 2 = 11$

Erklärung

Gleichung, Lösung, Probe

• Eine Gleichung besteht aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen.
• Die Variable heisst hier auch Unbekannte.
• Eine Lösung ist eine Zahl, die eine wahre Aussage ergibt, wenn du sie für die Unbekannte einsetzt.
• Bei der Probe setzt du deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfst, ob beide Seiten gleich sind.

Weg 1: Einsetzen und Probieren

Bei kleinen Zahlen kannst du Werte ausprobieren. Für $3x + 2 = 11$:

$x$	$3x + 2$	gleich 11?
2	8	nein, zu klein
3	11	ja
4	14	nein, zu gross

Das klappt gut, wenn die Lösung eine kleine ganze Zahl ist. Bei Lösungen wie $x = 2.75$ wird Probieren mühsam.

Weg 2: Rückwärtsrechnen mit Umkehroperationen

Lies die Gleichung als Rechenkette: Eine Zahl wird mit 3 multipliziert, dann wird 2 addiert, das Ergebnis ist 11.

Rechne rückwärts und nimm jeweils die Umkehroperation:

• Die Umkehrung von $+2$ ist $-2$: $11 - 2 = 9$.
• Die Umkehrung von $\cdot 3$ ist $: 3$: $9 : 3 = 3$.

Also ist $x = 3$.

Weg 3: Die Waage im Gleichgewicht halten

Eine Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn du auf beiden Seiten dasselbe tust:

1. Nimm auf beiden Seiten 2 kg weg: $3x = 9$.
2. Teile beide Seiten in drei gleiche Teile: $x = 3$.

Ein Paket wiegt 3 kg. Probe: $3 \cdot 3 + 2 = 11$. Die Gleichung stimmt.

Dieser dritte Weg funktioniert auch dann, wenn die Unbekannte auf beiden Seiten steht. Das lernst du in der nächsten Lektion.

Beispiele

Beispiel 1: Rückwärtsrechnen. $5x - 7 = 18$

Rechenkette: mal 5, minus 7, ergibt 18. Rückwärts: $18 + 7 = 25$, dann $25 : 5 = 5$. Lösung $x = 5$. Probe: $5 \cdot 5 - 7 = 18$.

Beispiel 2: Eine Klammer zuerst. $4(x + 2) = 36$

Rechenkette: plus 2, dann mal 4, ergibt 36. Rückwärts: $36 : 4 = 9$, dann $9 - 2 = 7$. Lösung $x = 7$. Probe: $4 \cdot 9 = 36$.

Beispiel 3: Zugbillette. Sarah kauft 4 gleiche Billette und bezahlt mit einer 50-Franken-Note. Sie bekommt 8.40 Fr. zurück. Was kostet ein Billett?

Gleichung: $4x + 8.40 = 50$. Rückwärts: $50 - 8.40 = 41.60$, dann $41.60 : 4 = 10.40$. Ein Billett kostet 10.40 Fr.

Merksatz

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Die Lösung findest du durch Probieren, durch Rückwärtsrechnen mit Umkehroperationen oder indem du auf beiden Seiten dasselbe rechnest. Mach am Schluss immer die Probe.

Übungen

Grundlagen

1. Welche der Zahlen 2, 3 und 5 ist die Lösung? a) $4x - 3 = 17$, b) $10 - x = 7$, c) $2x + 11 = 3x + 9$.
2. Löse durch Rückwärtsrechnen: a) $x + 17 = 41$, b) $6x = 54$, c) $\frac{x}{4} = 7$, d) $3x + 8 = 29$.
3. Auf einer Waage liegen links fünf gleiche Pakete, rechts liegen 18 kg und zwei Pakete. Die Waage ist im Gleichgewicht. Schreibe eine Gleichung und finde das Gewicht eines Pakets.

Weiter

4. Löse und mache die Probe: a) $7x - 4 = 31$, b) $3(x - 2) = 21$, c) $0.5x + 3 = 8$.
5. Ich verdopple eine Zahl und ziehe 9 ab. Das Ergebnis ist 25. Wie heisst die Zahl? Schreibe zuerst eine Gleichung.
6. In einem Bus sind 7 Plätze besetzt. An jedem Halt steigen 9 Lernende ein, niemand steigt aus. Nach wie vielen Halten sind alle 43 Plätze besetzt? Schreibe eine Gleichung und löse sie.

Knobeln

7. Was passiert bei diesen Gleichungen? a) $x + 3 = x + 5$, b) $2(x + 1) = 2x + 2$. Probiere verschiedene Zahlen aus und erkläre.
8. Erfinde eine Rechengeschichte zur Gleichung $3x + 12 = 45$ und löse sie.

Lösungen

1. a) $x = 5$, denn $20 - 3 = 17$. b) $x = 3$, denn $10 - 3 = 7$. c) $x = 2$, denn links $4 + 11 = 15$ und rechts $6 + 9 = 15$.
2. a) $x = 41 - 17 = 24$, b) $x = 54 : 6 = 9$, c) $x = 7 \cdot 4 = 28$, d) $x = (29 - 8) : 3 = 7$.
3. $5x = 2x + 18$. Nimm auf beiden Seiten zwei Pakete weg: $3x = 18$, also $x = 6$. Ein Paket wiegt 6 kg. Probe: $30 = 12 + 18$.
4. a) $31 + 4 = 35$, $35 : 7 = 5$, also $x = 5$. Probe $35 - 4 = 31$. b) $21 : 3 = 7$, $7 + 2 = 9$, also $x = 9$. Probe $3 \cdot 7 = 21$. c) $8 - 3 = 5$, $5 : 0.5 = 10$, also $x = 10$. Probe $5 + 3 = 8$.
5. $2x - 9 = 25$. Rückwärts: $25 + 9 = 34$, $34 : 2 = 17$. Die Zahl heisst 17. Probe: $34 - 9 = 25$.
6. $7 + 9x = 43$. Rückwärts: $43 - 7 = 36$, $36 : 9 = 4$. Nach 4 Halten sind alle Plätze besetzt. Probe: $7 + 36 = 43$.
7. a) Für keine Zahl stimmt die Gleichung, denn links ist immer um 2 weniger als rechts. Sie hat keine Lösung. b) Für jede Zahl stimmt sie, denn $2(x + 1)$ ist ausmultipliziert $2x + 2$. Jede Zahl ist eine Lösung.
8. Beispiel: „Eine Klasse kauft 3 gleiche Bälle und eine Pumpe für 12 Fr. Sie bezahlt 45 Fr. Was kostet ein Ball?“ Lösung: $45 - 12 = 33$, $33 : 3 = 11$. Ein Ball kostet 11 Fr.