Terme ausmultiplizieren und ausklammern

Einstieg

Wie rechnest du $7 \cdot 98$ im Kopf? Ein Trick: $98$ ist $100 - 2$. Also ist $7 \cdot 98 = 7 \cdot 100 - 7 \cdot 2 = 700 - 14 = 686$.

Du hast dabei eine Klammer aufgelöst, ohne es zu merken. Die Regel dahinter heisst Distributivgesetz. Mit ihr formst du Terme um, bevor du Gleichungen löst.

Erklärung

Das Distributivgesetz

Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Am Rechteck siehst du, warum das stimmt. Ein Rechteck mit der Höhe 4 und der Breite $x + 3$ hat den Flächeninhalt $4 \cdot (x + 3)$. Du kannst es aber auch in zwei Teilrechtecke zerlegen: $4 \cdot x$ und $4 \cdot 3$.

Ausmultiplizieren

Du löst die Klammer auf, indem du den Faktor mit jedem Glied multiplizierst. Achte auf die Vorzeichen:

• $5(2a - 1) = 10a - 5$
• $-3(y - 4) = -3y + 12$, denn minus mal minus ergibt plus.

Ein Minus vor einer Klammer ohne Zahl bedeutet $-1$. Beim Auflösen kehren sich alle Vorzeichen in der Klammer um:

$-(2a - 3) = -2a + 3$

Ausklammern

Ausklammern ist der umgekehrte Weg. Du suchst einen Faktor, der in allen Gliedern steckt, und schreibst ihn vor die Klammer:

$6x + 18 = 6 \cdot x + 6 \cdot 3 = 6(x + 3)$

Prüfe ein Ausklammern immer, indem du wieder ausmultiplizierst.

Terme vereinfachen

1. Klammern auflösen.
2. Gleichartige Glieder zusammenfassen.

Beispiele

Beispiel 1: Ausmultiplizieren und zusammenfassen.

$3(2y + 1) - 2(y - 5) = 6y + 3 - 2y + 10 = 4y + 13$

Achtung bei $-2(y - 5)$: Auch die $-5$ wird mit $-2$ multipliziert, das ergibt $+10$.

Beispiel 2: Minus vor der Klammer.

$5a - (2a - 3) = 5a - 2a + 3 = 3a + 3$

Beispiel 3: Ausklammern.

$15a - 10 = 5(3a - 2)$. Probe: $5 \cdot 3a - 5 \cdot 2 = 15a - 10$.

$7ab + 14a = 7a(b + 2)$. Hier steckt in beiden Gliedern der Faktor $7a$.

Beispiel 4: Kopfrechnen. $25 \cdot 44 = 25 \cdot (40 + 4) = 1000 + 100 = 1100$.

Merksatz

Ausmultiplizieren: $a(b + c) = ab + ac$, jedes Glied in der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert. Ein Minus vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen in der Klammer um. Ausklammern ist der umgekehrte Weg. Die Probe machst du durch Ausmultiplizieren.

Übungen

Grundlagen

1. Multipliziere aus: a) $4(x + 3)$, b) $5(2a - 1)$, c) $-3(y - 4)$, d) $a(b + 2)$.
2. Klammere aus: a) $6x + 18$, b) $15a - 10$, c) $7ab + 14a$.
3. Vereinfache: a) $2(x + 4) + 3x$, b) $5a - (2a - 3)$, c) $3(2y + 1) - 2(y - 5)$.

Weiter

4. Vereinfache: $4(a^2 + b) - 3(a^2 - 2b)$.
5. Ein Rechteck ist $x + 5$ lang und 3 breit. Stelle Terme für den Flächeninhalt und für den Umfang auf und vereinfache sie.
6. Rechne mit dem Distributivgesetz im Kopf: a) $12 \cdot 103$, b) $8 \cdot 29$.

Knobeln

7. Zeige mit einem Term: Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
8. Multipliziere aus: $(a + 2)(b + 3)$. Zeichne dazu ein Rechteck mit den Seiten $a + 2$ und $b + 3$ und erkläre die vier Teilflächen. Prüfe dein Ergebnis mit $a = 1$ und $b = 1$.

Lösungen

1. a) $4x + 12$, b) $10a - 5$, c) $-3y + 12$, d) $ab + 2a$.
2. a) $6(x + 3)$, b) $5(3a - 2)$, c) $7a(b + 2)$.
3. a) $2x + 8 + 3x = 5x + 8$, b) $5a - 2a + 3 = 3a + 3$, c) $6y + 3 - 2y + 10 = 4y + 13$.
4. $4a^2 + 4b - 3a^2 + 6b = a^2 + 10b$.
5. Fläche: $3(x + 5) = 3x + 15$. Umfang: $2(x + 5) + 2 \cdot 3 = 2x + 10 + 6 = 2x + 16$.
6. a) $12 \cdot (100 + 3) = 1200 + 36 = 1236$. b) $8 \cdot (30 - 1) = 240 - 8 = 232$.
7. Die Zahlen heissen $n$, $n + 1$ und $n + 2$. Summe: $n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1)$. Das ist 3 mal eine natürliche Zahl, also durch 3 teilbar.
8. $(a + 2)(b + 3) = ab + 3a + 2b + 6$. Die vier Teilflächen sind $a \cdot b$, $a \cdot 3$, $2 \cdot b$ und $2 \cdot 3$. Probe mit $a = 1$, $b = 1$: links $3 \cdot 4 = 12$, rechts $1 + 3 + 2 + 6 = 12$.