Textaufgaben mit Gleichungen lösen: Terme und lineare Gleichungen lösen

Einstieg

Drei Klassen sammeln Geld für ein gemeinsames Schulfest und kommen zusammen auf 1'020 Fr. Klasse 2b hat 60 Fr. mehr gesammelt als Klasse 2a. Klasse 2c hat doppelt so viel gesammelt wie Klasse 2a. Wie viel hat jede Klasse gesammelt?

Mit Probieren wird das mühsam. Mit einer Gleichung ist es eine Aufgabe von wenigen Zeilen. In dieser Lektion lernst du, Sachaufgaben in Gleichungen zu übersetzen, und du übst Gleichungen mit Klammern und Brüchen.

Erklärung

Gleichungen mit Klammern

Zuerst die Klammern auflösen, dann wie gewohnt umformen:

$\begin{aligned} 3(x - 2) + 5 &= 2(x + 4) \\ 3x - 6 + 5 &= 2x + 8 \\ 3x - 1 &= 2x + 8 && \mid -2x \\ x - 1 &= 8 && \mid +1 \\ x &= 9 \end{aligned}$

Probe: links $3 \cdot 7 + 5 = 26$ , rechts $2 \cdot 13 = 26$ .

Gleichungen mit Brüchen

Multipliziere beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Dann verschwinden die Brüche:

$\begin{aligned} \frac{x}{3} + 2 &= \frac{x}{2} && \mid \cdot 6 \\ 2x + 12 &= 3x && \mid -2x \\ 12 &= x \end{aligned}$

Achtung: Jedes Glied wird mit 6 multipliziert, auch die 2.

Sachaufgaben in fünf Schritten

Variable festlegen: Schreibe auf, wofür $x$ steht. Wähle die Grösse, von der die anderen abhängen.
Terme aufstellen: Drücke die anderen Grössen mit $x$ aus.
Gleichung aufstellen: Was ist gleich gross?
Lösen mit Äquivalenzumformungen.
Antwortsatz und Probe am Text: Passt das Ergebnis zur Geschichte?

Typische Übersetzungen:

Im Text	Als Term
um 60 mehr als $x$	$x + 60$
doppelt so viel wie $x$	$2x$
ein Drittel von $x$	$\frac{x}{3}$
um 5 kleiner als das Dreifache von $x$	$3x - 5$

Beispiele

Beispiel 1: Schulfest.

$x$ = Betrag der Klasse 2a in Franken.
Klasse 2b: $x + 60$ . Klasse 2c: $2x$ .
Zusammen: $x + (x + 60) + 2x = 1020$ .
$4x + 60 = 1020 \mid -60$ , also $4x = 960 \mid : 4$ , also $x = 240$ .
Klasse 2a hat 240 Fr. gesammelt, Klasse 2b 300 Fr. und Klasse 2c 480 Fr. Probe: $240 + 300 + 480 = 1020$ .

Beispiel 2: Rechteck. Ein Rechteck hat den Umfang 46 cm. Es ist 7 cm länger als breit. Wie lang sind die Seiten?

$x$ = Breite in cm, Länge $x + 7$ . Umfang: $2x + 2(x + 7) = 46$ , also $4x + 14 = 46$ , also $4x = 32$ und $x = 8$ . Das Rechteck ist 8 cm breit und 15 cm lang. Probe: $2 \cdot 8 + 2 \cdot 15 = 46$ .

Typische Fehler aus der ganzen Reihe

Fehler	Falsch	Richtig
Faktor nicht mit jedem Glied multipliziert	$2(x + 5) = 2x + 5$	$2(x + 5) = 2x + 10$
Minus vor der Klammer vergessen	$5 - (x - 2) = 5 - x - 2$	$5 - (x - 2) = 5 - x + 2$
nur eine Seite umgeformt	$3x + 4 = 19$ , dann $3x = 19$	auf beiden Seiten $-4$ : $3x = 15$
Gegenoperation verwechselt	bei $4x - 4 = 8$ noch $-4$ rechnen	$+4$ rechnen: $4x = 12$
beim Bruch nicht jedes Glied multipliziert	$\frac{x}{3} + 2 = 5 \mid \cdot 3$ wird $x + 2 = 15$	$x + 6 = 15$
ungleichartige Glieder zusammengefasst	$3a + 2b = 5ab$	bleibt $3a + 2b$

Mit der Probe in der ursprünglichen Gleichung findest du jeden dieser Fehler.

Merksatz

Klammern zuerst auflösen, Brüche durch Multiplizieren mit dem gemeinsamen Nenner entfernen. Bei Sachaufgaben: Variable festlegen, Terme aufstellen, Gleichung aufstellen, lösen, Antwort und Probe am Text.

Übungen

Grundlagen

Löse: a) $4(x + 1) = 28$ , b) $2(3x - 1) = 5x + 4$ , c) $10 - (x - 2) = 2x$ .
Löse: a) $\frac{x}{4} + 3 = 5$ , b) $\frac{x + 2}{3} = 4$ , c) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .
Ein Wanderweg ist 18 km lang. Die Klasse wandert am ersten Tag doppelt so weit wie am zweiten. Wie viele Kilometer sind es an jedem Tag?

Weiter

Eine Klasse mit 22 Lernenden und 2 Lehrpersonen bezahlt für die Schulreise 468 Fr. Ein Erwachsenenbillett kostet doppelt so viel wie ein Jugendbillett. Was kostet ein Jugendbillett?
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist 159. Wie heissen die Zahlen?
Finde den Fehler und löse richtig: $2(x + 5) = 18$ , also $2x + 5 = 18$ , also $2x = 13$ , also $x = 6.5$ .

Knobeln

Ein Vater ist 41 Jahre alt, seine Tochter 13. In wie vielen Jahren ist der Vater genau doppelt so alt wie die Tochter?
Ein Velohändler kauft gebrauchte Velos ein. Er verkauft ein Drittel davon im Frühling, ein Viertel im Sommer und die restlichen 25 im Herbst. Wie viele Velos hat er eingekauft?

Lösungen

a) $4x + 4 = 28$ , $4x = 24$ , $x = 6$ . b) $6x - 2 = 5x + 4$ , $x = 6$ . c) $10 - x + 2 = 2x$ , $12 - x = 2x$ , $12 = 3x$ , $x = 4$ .
a) $\frac{x}{4} = 2$ , $x = 8$ . b) $x + 2 = 12$ , $x = 10$ . c) mal 6: $3x + 2x = 60$ , $5x = 60$ , $x = 12$ .
$x$ = Strecke am zweiten Tag. $x + 2x = 18$ , $3x = 18$ , $x = 6$ . Am ersten Tag 12 km, am zweiten 6 km.
$x$ = Preis Jugendbillett. $22x + 2 \cdot 2x = 468$ , $26x = 468$ , $x = 18$ . Ein Jugendbillett kostet 18 Fr., ein Erwachsenenbillett 36 Fr. Probe: $22 \cdot 18 + 2 \cdot 36 = 396 + 72 = 468$ .
$n + (n + 1) + (n + 2) = 159$ , $3n + 3 = 159$ , $3n = 156$ , $n = 52$ . Die Zahlen sind 52, 53 und 54.
Beim Ausmultiplizieren wurde die 5 nicht mit 2 multipliziert. Richtig: $2x + 10 = 18$ , $2x = 8$ , $x = 4$ . Probe: $2 \cdot 9 = 18$ .
In $t$ Jahren: $41 + t = 2(13 + t)$ , $41 + t = 26 + 2t$ , $15 = t$ . In 15 Jahren ist der Vater 56 und die Tochter 28.
$x$ = Anzahl Velos. Verkauft werden $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 25 = x$ . Mal 12: $4x + 3x + 300 = 12x$ , $300 = 5x$ , $x = 60$ . Probe: $20 + 15 + 25 = 60$ .