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Illustration: ein oranges Zelt auf einer Alpwiese vor verschneiten Bergen. Ein senkrechter Zeltpfosten, eine gespannte Schnur und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Mathematik · Deutschschweiz · Zyklus 3

Satz des Pythagoras

Eine Unterrichtsreihe zum Satz des Pythagoras für die 2. und 3. Sek nach dem Lehrplan 21. Sie beginnt mit Quadratwurzeln und den Namen der Seiten im rechtwinkligen Dreieck, lässt den Satz an Häuschenquadraten entdecken und mit dem Ergänzungsbeweis begründen. Danach werden Hypotenuse und Katheten berechnet, rechte Winkel mit der Umkehrung geprüft und Längen in Figuren, im Koordinatensystem und in Körpern bestimmt.

Schuljahre
8–9
Schultypen
Sekundarschule
Umfang
8 Unterrichtsstunden
Fach
Mathematik
Region
Deutschschweiz
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Lernziele

  • Die Schülerinnen und Schüler ziehen Quadratwurzeln im Kopf und mit dem Rechner und schätzen Wurzeln ab.
  • Sie benennen Katheten und Hypotenuse in beliebig beschrifteten rechtwinkligen Dreiecken.
  • Sie begründen den Satz des Pythagoras mit dem Ergänzungsbeweis.
  • Sie berechnen fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken, Figuren und Körpern.
  • Sie prüfen mit der Umkehrung, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
  • Sie lösen Sachaufgaben mit Skizze und erkennen typische Fehler.

Bezug zum Lehrplan 21

Lehrplan 21 (Deutschschweiz), Fachbereichslehrplan Mathematik

  • Kompetenz: MA.2.A.3 Die Schülerinnen und Schüler können Längen, Flächen und Volumen bestimmen und berechnen.
  • Kompetenzstufe: MA.2.A.3.g können Vielecke und gerade Prismen zur Berechnung von Flächeninhalten und Volumen zerlegen. können den Flächeninhalt von Drei- und Vierecken berechnen. können Kantenlängen, Seitenflächen und Volumen von Quadern berechnen.
  • Kompetenzstufe: MA.2.A.3.h können Längen und Flächeninhalte mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. können bei geometrischen Berechnungen Formeln und Tabellenkalkulation verwenden.
  • Kompetenz: MA.1.A.3 Die Schülerinnen und Schüler können addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und potenzieren.
  • Kompetenzstufe: MA.1.A.3.i können die Grundoperationen mit rationalen Zahlen ausführen. können Wurzeln und Potenzen mit dem Rechner berechnen (z.B. 4³ · 4³ = 4'096; 4³ + 4³ = 128; ³√8000). Erweiterung: können die Grundoperationen mit gewöhnlichen Brüchen mit Variablen ausführen und mit Zahlen belegen: a/b + c/d;a/b − c/d; a/b · c/d; a : c/b : d = a/c · b/d.

Ablauf

  1. Abschnitt 1

    Quadratwurzel und rechtwinklige Dreiecke

    Quadrieren und Wurzelziehen, Wurzeln schätzen und mit dem Rechner berechnen, Katheten und Hypotenuse bei beliebiger Beschriftung.

    • Lektion

      Quadratwurzel, Katheten und Hypotenuse

      Ein Bauer will ein quadratisches Stück Weide von 64 m² einzäunen. Wie lang ist eine Seite? Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 64…

    • Tipp

      Lerne die Quadratzahlen bis 15 · 15 = 225 auswendig. Dann erkennst du viele Ergebnisse beim Satz des Pythagoras sofort.

  2. Abschnitt 2

    Satz des Pythagoras entdecken und begründen

    Entdeckung an Häuschenquadraten, der Satz in Worten und mit Buchstaben, Ergänzungsbeweis, Dreiecke ohne rechten Winkel.

    • Lektion

      Satz des Pythagoras entdecken und beweisen

      Zeichne auf Häuschenpapier ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 Häuschen und 4 Häuschen. Miss die dritte Seite: Sie ist genau 5 Häuschen…

    • Material

      Puzzle zum Pythagoras (interaktiv)

      GeoGebra, Lizenz: GeoGebra-Lizenz (nicht kommerziell), nur verlinkt

    • Aufgabe

      Den Beweis nachlegen

      Schneide aus Papier vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten 4 cm und 6 cm aus. Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm.

      1. Lege die Dreiecke wie in Anordnung 1 und wie in Anordnung 2 in das Quadrat. Fotografiere oder skizziere beide Lagen.
      2. Berechne für beide Anordnungen die freie Fläche.
      3. Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum das ein Beweis für alle rechtwinkligen Dreiecke ist und nicht nur für dieses eine.

  3. Abschnitt 3

    Hypotenuse und Kathete berechnen

    Formeln für Hypotenuse und Kathete, Vorgehen in fünf Schritten, Pausenplatz, Zelt, Leiter, Fussballfeld und Handybildschirm.

  4. Abschnitt 4

    Umkehrung und Pythagoras in Figuren

    Rechte Winkel mit der Umkehrung prüfen, pythagoreische Tripel, Diagonalen, Höhen in gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken, Abstand zweier Punkte.

    • Lektion

      Umkehrung des Satzes und Pythagoras in Figuren

      Eine Gärtnerin soll ein rechteckiges Beet abstecken. Sie hat kein Geodreieck, nur ein Massband und eine Schnur. Sie misst von einer Ecke aus 3 m in…

    • Aufgabe

      Rechte Winkel prüfen

      Prüfe mit einem Massband und der Umkehrung des Satzes des Pythagoras zwei Ecken im Schulhaus, zum Beispiel eine Tischecke und eine Zimmerecke.

      1. Miss an beiden Seiten einer Ecke Strecken ab, die zu einem pythagoreischen Tripel passen, zum Beispiel 30 cm und 40 cm.
      2. Miss die Verbindung der beiden Endpunkte und vergleiche mit dem erwarteten Wert.
      3. Entscheide, ob der Winkel ein rechter, ein spitzer oder ein stumpfer ist, und begründe.

  5. Abschnitt 5

    Pythagoras in Körpern und Sachaufgaben

    Raumdiagonale im Quader, Sachaufgaben mit Skizze (Standseilbahn, Luftlinie, Schrank), Fehlertabelle, gemischte Übungen zur Sicherung.

    • Lektion

      Raumdiagonale und Sachaufgaben zum Satz des Pythagoras

      Für die Schulreise packst du eine Kiste: 60 cm lang, 40 cm breit, 30 cm hoch. Dein Regenschirm ist 80 cm lang und passt nicht flach auf den Boden…

    • Material

      Überblick zum Satz des Pythagoras

      Serlo Education e. V., Lizenz: CC BY-SA 4.0

    • Aufgabe

      Pythagoras in meiner Umgebung

      Finde in deiner Umgebung eine Strecke, die man schlecht direkt messen, aber mit dem Satz des Pythagoras berechnen kann. Beispiele: die Diagonale eines Zimmers, die Länge eines Treppengeländers, die Luftlinie zwischen zwei Orten auf der Karte.

      1. Zeichne eine Skizze mit allen gemessenen Längen.
      2. Berechne die gesuchte Strecke.
      3. Miss, wenn möglich, zur Kontrolle nach und erkläre eine mögliche Abweichung.

Hinweise für Lehrpersonen

Zeitplan (etwa 8 Lektionen)

AbschnittLektionenSchwerpunkt
1 Quadratwurzel und rechtwinklige Dreiecke1Wurzel als Umkehrung, Schätzen, Katheten und Hypotenuse
2 Satz entdecken und begründen2Häuschenquadrate, Satz in Worten, Ergänzungsbeweis
3 Hypotenuse und Kathete berechnen2beide Formeln, fünf Schritte, Sachaufgaben
4 Umkehrung und Figuren1rechte Winkel prüfen, Tripel, Diagonale, Höhe, Abstand im Koordinatensystem
5 Körper und Sachaufgaben2Raumdiagonale, Standseilbahn, Luftlinie, Fehlertabelle, Sicherung

Bezug zum Lehrplan 21

Kern der Reihe ist MA.2.A.3.h („können Längen und Flächeninhalte mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen“). Die Stufe liegt im Zyklus 3 vor dem Orientierungspunkt, also meist in der 2. Sek. Wurzeln mit dem Rechner (MA.1.A.3.i) und Flächeninhalte von Dreiecken (MA.2.A.3.g) werden in den Abschnitten 1 und 4 genutzt. Die Pyramidenaufgabe in Abschnitt 5 greift auf MA.2.A.3.j vor und ist deshalb eine Knobelaufgabe.

Der Satz wird mit dem rechten Winkel bei C und der Hypotenuse c eingeführt, wie in den meisten Deutschschweizer Lehrmitteln. Die Lerntexte üben aber bewusst auch andere Beschriftungen.

Didaktische Hinweise

  • Lassen Sie den Satz in Abschnitt 2 zuerst auf Häuschenpapier entdecken, bevor die Formel kommt. Formulieren Sie ihn konsequent in Worten (Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²). Das verhindert, dass a² + b² = c² als Buchstabenformel bei anderer Beschriftung falsch angewendet wird.
  • Der Ergänzungsbeweis lässt sich mit vier ausgeschnittenen Papierdreiecken nachlegen (Auftrag in Abschnitt 2). Er kommt ohne binomische Formeln aus, die im Lehrplan 21 erst nach dem Orientierungspunkt stehen.
  • Unterscheiden Sie in Abschnitt 4 deutlich zwischen Satz und Umkehrung. Die Gärtnerinnen-Methode mit 3, 4 und 5 m lässt sich auf dem Pausenplatz mit einer Schnur ausprobieren.
  • Die Werte der Standseilbahn sind gerundete Modellwerte. Echte Bahnen haben meist keine gerade Strecke. Wer möchte, sucht eine Bahn in der Region und vergleicht Fahrstrecke und Höhenunterschied aus den Angaben der Betreiber.

Typische Fehlvorstellungen

  • „c ist immer die Hypotenuse“: Bei anderer Lage des rechten Winkels wird falsch eingesetzt.
  • Addieren statt Subtrahieren bei gesuchter Kathete. Plausibilitätscheck: Eine Kathete ist kürzer als die Hypotenuse.
  • Wurzel einer Summe aufgeteilt: √(a² + b²) = a + b.
  • Satz auf beliebige Dreiecke angewendet. Abschnitt 2 und 4 zeigen, was bei spitzen und stumpfen Winkeln passiert.
  • Satz und Umkehrung verwechselt beim Begründen.
  • Zu frühes Runden bei mehrschrittigen Aufgaben (Raumdiagonale, Pyramide).

Differenzierung

  • Grundlagenaufgaben arbeiten oft mit pythagoreischen Tripeln, damit die Wurzeln aufgehen und der Rechenweg im Vordergrund steht.
  • Weiter-Aufgaben verlangen eine eigene Skizze zu einem Sachtext und Wurzeln mit dem Rechner.
  • Knobelaufgaben (Halbkreise über den Seiten, Tripel 20, 21, 29, Pyramidenzelt, rutschende Leiter) sind für erweiterte Anforderungen gedacht.

Handlungsaspekte

  • Operieren und Benennen: Katheten und Hypotenuse benennen, Wurzeln ziehen, Seitenlängen berechnen.
  • Erforschen und Argumentieren: Satz entdecken, Ergänzungsbeweis führen, Satz und Umkehrung unterscheiden, Fehler begründen.
  • Mathematisieren und Darstellen: Skizzen zu Sachaufgaben (Pausenplatz, Zelt, Leiter, Standseilbahn, Wanderkarte, Kiste).

Häufige Fragen

In welchem Schuljahr wird der Satz des Pythagoras nach Lehrplan 21 behandelt?

Im Zyklus 3, Kompetenzstufe MA.2.A.3.h vor dem Orientierungspunkt. Meist ist das die 2. Sek (8. Schuljahr). Anwendungen in Körpern werden in der 3. Sek vertieft.

Wie viele Lektionen braucht die Reihe?

Etwa 8 Lektionen. Wenn Sie den Ergänzungsbeweis mit Papierdreiecken nachlegen und rechte Winkel im Schulhaus prüfen lassen, planen Sie 9 bis 10 Lektionen ein.

Braucht es die binomischen Formeln für den Beweis?

Nein. Der Ergänzungsbeweis in Abschnitt 2 vergleicht nur Flächen. Die binomischen Formeln liegen im Lehrplan 21 nach dem Orientierungspunkt.

Sind Kathetensatz und Höhensatz enthalten?

Nein. Der Lehrplan 21 nennt im Zyklus 3 nur den Satz des Pythagoras. Die Satzgruppe kann bei erweiterten Anforderungen in einer Zusatzlektion folgen.

Quellen

Bildnachweise

  • Titelbild: KI-generiert
  • Rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C. Die Seiten a und b am rechten Winkel sind orange und als Katheten beschriftet. Die gegenüberliegende Seite c ist pink und als Hypotenuse beschriftet.: Eigene Darstellung
  • Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a gleich 3 und b gleich 4 und der Hypotenuse c gleich 5. Über jeder Seite steht ein Quadrat aus Häuschen: a² = 9, b² = 16 und c² = 25.: Eigene Darstellung
  • Zwei gleich grosse Quadrate mit der Seite a plus b. Links liegen vier rechtwinklige Dreiecke in den Ecken, frei bleibt ein schräg liegendes Quadrat c². Rechts bilden die Dreiecke zwei Rechtecke, frei bleiben die Quadrate a² und b².: Eigene Darstellung

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