Umkehrung des Satzes und Pythagoras in Figuren

Einstieg

Eine Gärtnerin soll ein rechteckiges Beet abstecken. Sie hat kein Geodreieck, nur ein Massband und eine Schnur. Sie misst von einer Ecke aus 3 m in die eine Richtung und 4 m in die andere. Dann verschiebt sie den zweiten Pflock so lange, bis die beiden Endpunkte genau 5 m auseinanderliegen. Jetzt ist die Ecke ein rechter Winkel.

Warum funktioniert dieser Trick? Er nutzt den Satz des Pythagoras rückwärts, die Umkehrung. In dieser Lektion lernst du sie kennen und findest danach rechtwinklige Dreiecke in Rechtecken, Quadraten, gleichseitigen Dreiecken und im Koordinatensystem.

Erklärung

Die Umkehrung des Satzes

Der Satz des Pythagoras sagt: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt $a^2 + b^2 = c^2$.

Die Umkehrung sagt: Wenn in einem Dreieck für die drei Seiten $a^2 + b^2 = c^2$ gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite $c$.

So prüfst du, ob ein Dreieck rechtwinklig ist:

1. Die längste Seite suchen.
2. Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten addieren.
3. Mit dem Quadrat der längsten Seite vergleichen.

Vergleich	Winkel gegenüber der längsten Seite
$a^2 + b^2 = c^2$	genau 90° (rechtwinklig)
$a^2 + b^2 > c^2$	kleiner als 90°
$a^2 + b^2 < c^2$	grösser als 90°

Drei ganze Zahlen mit $a^2 + b^2 = c^2$ heissen pythagoreisches Tripel, zum Beispiel 3, 4, 5 oder 5, 12, 13. Vielfache eines Tripels sind wieder Tripel: 6, 8, 10 oder 30, 40, 50.

Rechtwinklige Dreiecke in Figuren

Viele Figuren enthalten versteckte rechtwinklige Dreiecke. Zeichne eine Hilfslinie, dann siehst du sie:

• Die Diagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Beim Quadrat mit der Seite $s$ ist die Diagonale $d = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2} \cdot s$.
• Die Höhe teilt ein gleichseitiges oder gleichschenkliges Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Grundseite wird dabei halbiert.
• Im Koordinatensystem bilden zwei Punkte mit einer waagrechten und einer senkrechten Hilfslinie ein rechtwinkliges Dreieck. Die Katheten sind die Differenzen der $x$-Werte und der $y$-Werte.

Beispiele

Beispiel 1: Prüfen. Ist das Dreieck mit den Seiten 9 cm, 12 cm und 15 cm rechtwinklig?

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Ja, der rechte Winkel liegt gegenüber der 15-cm-Seite.

Beispiel 2: Nicht rechtwinklig. Seiten 6 cm, 7 cm und 9 cm: $36 + 49 = 85$, aber $9^2 = 81$. $85 > 81$, also ist der Winkel gegenüber der 9-cm-Seite kleiner als 90°.

Beispiel 3: Diagonale eines Quadrats. Ein quadratisches Schachbrett hat die Seite 40 cm. $d = \sqrt{40^2 + 40^2} = \sqrt{3200} \approx 56.57$ cm.

Beispiel 4: Höhe im gleichseitigen Dreieck. Seite 6 cm. Die Höhe halbiert die Grundseite. Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 6 cm und Kathete 3 cm:

$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} \approx 5.20$ cm.

Beispiel 5: Abstand zweier Punkte. $A(1 \mid 2)$ und $B(7 \mid 5)$. Waagrecht: $7 - 1 = 6$, senkrecht: $5 - 2 = 3$.

$\overline{AB} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} \approx 6.71$ Einheiten.

Merksatz

Umkehrung: Gilt für die Seiten eines Dreiecks $a^2 + b^2 = c^2$, dann ist es rechtwinklig, mit dem rechten Winkel gegenüber $c$. In Figuren findest du rechtwinklige Dreiecke mit Hilfslinien: Diagonale, Höhe oder waagrechte und senkrechte Linie im Koordinatensystem.

Übungen

Grundlagen

1. Welche Dreiecke sind rechtwinklig? a) 8 cm, 15 cm, 17 cm, b) 5 cm, 6 cm, 8 cm, c) 7 m, 24 m, 25 m. Entscheide bei den anderen, ob der grösste Winkel spitz oder stumpf ist.
2. Berechne die Diagonale: a) Quadrat mit der Seite 5 cm, b) Rechteck mit 6 cm und 8 cm.
3. Berechne den Abstand der Punkte $P(-1 \mid 4)$ und $Q(4 \mid -2)$.

Weiter

4. Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 8 cm. Berechne die Höhe und den Flächeninhalt.
5. Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Schenkel 13 cm und die Grundseite 10 cm. Berechne die Höhe auf die Grundseite und den Flächeninhalt.
6. Ein Gärtner steckt ein Beet ab. Er misst an einer Ecke 6 m und 8 m ab und dann die Verbindung der beiden Endpunkte: 10.3 m. Ist die Ecke ein rechter Winkel? Wenn nein: zu spitz oder zu stumpf?

Knobeln

7. Finde ein pythagoreisches Tripel, in dem die Zahl 20 vorkommt, aber das kein Vielfaches von 3, 4, 5 ist. Tipp: Prüfe $20^2 + 21^2$.
8. Ein Quadrat hat eine Diagonale von 8 cm. Wie lang ist die Seite, und wie gross ist der Flächeninhalt?

Lösungen

1. a) $64 + 225 = 289 = 17^2$, rechtwinklig. b) $25 + 36 = 61 < 64 = 8^2$, nicht rechtwinklig, der grösste Winkel ist stumpf. c) $49 + 576 = 625 = 25^2$, rechtwinklig.
2. a) $\sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.07$ cm. b) $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
3. Waagrecht: $4 - (-1) = 5$, senkrecht: $-2 - 4 = -6$, also 6 Einheiten. $\overline{PQ} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \approx 7.81$ Einheiten.
4. $h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} \approx 6.93$ cm. Fläche: $\frac{8 \cdot \sqrt{48}}{2} = 4 \cdot \sqrt{48} \approx 27.71$ cm².
5. Halbe Grundseite: 5 cm. $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm. Fläche: $\frac{10 \cdot 12}{2} = 60$ cm².
6. Für einen rechten Winkel müsste die Verbindung $\sqrt{36 + 64} = 10$ m lang sein. Sie ist mit 10.3 m länger, also ist die Ecke stumpf: $6^2 + 8^2 = 100 < 10.3^2 = 106.09$.
7. $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. Das Tripel 20, 21, 29 ist kein Vielfaches von 3, 4, 5.
8. $s^2 + s^2 = 64$, also $2s^2 = 64$, $s^2 = 32$, $s = \sqrt{32} \approx 5.66$ cm. Flächeninhalt: $s^2 = 32$ cm².