Quadratwurzel, Katheten und Hypotenuse

Einstieg

Ein Bauer will ein quadratisches Stück Weide von 64 m² einzäunen. Wie lang ist eine Seite? Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 64 ergibt: Es ist 8, denn $8 \cdot 8 = 64$. Eine Seite ist 8 m lang.

Diese Rückwärtsfrage, also „welche Zahl ergibt im Quadrat …?“, brauchst du beim Satz des Pythagoras ständig. Darum lernst du in dieser Lektion zuerst das Wurzelziehen und die Namen der Seiten im rechtwinkligen Dreieck.

Erklärung

Quadrat und Quadratwurzel

Eine Zahl quadrieren heisst, sie mit sich selbst zu multiplizieren: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Die Quadratwurzel ist die Umkehrung. $\sqrt{49}$ ist die positive Zahl, deren Quadrat 49 ist:

$\sqrt{49} = 7, \quad \text{weil } 7^2 = 49$

Quadratzahlen, die du auswendig kennen solltest: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.

Auch bei Dezimalzahlen geht das im Kopf: $\sqrt{0.25} = 0.5$, weil $0.5 \cdot 0.5 = 0.25$.

Wurzeln schätzen und mit dem Rechner berechnen

Die meisten Wurzeln gehen nicht auf. $\sqrt{30}$ liegt zwischen $\sqrt{25} = 5$ und $\sqrt{36} = 6$, und zwar näher bei 5. Der Rechner zeigt $\sqrt{30} \approx 5.477$.

Schätze immer zuerst. Dann merkst du, wenn du dich vertippt hast.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90°) heisst rechtwinklig. Seine Seiten haben eigene Namen:

• Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heissen Katheten.
• Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heisst Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite.

Oft liegt der rechte Winkel bei $C$. Dann ist $c$ die Hypotenuse, $a$ und $b$ sind die Katheten. Verlass dich aber nicht auf die Buchstaben: Suche immer zuerst den rechten Winkel. Die Seite, die ihn nicht berührt, ist die Hypotenuse.

Beispiele

Beispiel 1: Wurzeln im Kopf. $\sqrt{144} = 12$, $\sqrt{1.44} = 1.2$, $\sqrt{0.09} = 0.3$.

Beispiel 2: Schätzen. $\sqrt{90}$ liegt zwischen 9 und 10, weil $81 < 90 < 100$. Rechner: $\sqrt{90} \approx 9.49$.

Beispiel 3: Quadratische Fläche. Ein quadratisches Zimmer hat 20.25 m² Bodenfläche. Seitenlänge: $\sqrt{20.25} = 4.5$ m.

Beispiel 4: Hypotenuse finden. Im Dreieck $PQR$ ist der Winkel bei $Q$ ein rechter. Die Seiten $\overline{PQ}$ und $\overline{QR}$ berühren den rechten Winkel, sie sind die Katheten. $\overline{PR}$ liegt gegenüber, sie ist die Hypotenuse.

Merksatz

$\sqrt{x}$ ist die positive Zahl, die im Quadrat $x$ ergibt. Im rechtwinkligen Dreieck heissen die Seiten am rechten Winkel Katheten, die Seite gegenüber heisst Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne im Kopf: a) $\sqrt{49}$, b) $\sqrt{144}$, c) $\sqrt{0.25}$, d) $\sqrt{1.44}$.
2. Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt die Wurzel? Prüfe danach mit dem Rechner (zwei Stellen nach dem Punkt): a) $\sqrt{30}$, b) $\sqrt{90}$, c) $\sqrt{200}$.
3. Im Dreieck $DEF$ liegt der rechte Winkel bei $F$. Nenne die Katheten und die Hypotenuse.

Weiter

4. Ein quadratischer Spielplatz hat eine Fläche von 50 m². Wie lang ist eine Seite? Runde auf Zentimeter.
5. Eine quadratische Tischplatte hat 2.25 m² Fläche. Wie lang ist der Umfang?
6. Nina sagt: „In einem rechtwinkligen Dreieck kann eine Kathete 9 cm und die Hypotenuse 7 cm lang sein.“ Hat sie recht?

Knobeln

7. Vergleiche $\sqrt{9 + 16}$ und $\sqrt{9} + \sqrt{16}$. Was fällt dir auf?
8. Welche Zahlen ergeben quadriert 0.09? Warum steht bei $\sqrt{0.09}$ trotzdem nur eine Zahl?

Lösungen

1. a) 7, b) 12, c) 0.5, d) 1.2.
2. a) Zwischen 5 und 6, $\sqrt{30} \approx 5.48$. b) Zwischen 9 und 10, $\sqrt{90} \approx 9.49$. c) Zwischen 14 und 15, weil $196 < 200 < 225$. $\sqrt{200} \approx 14.14$.
3. Katheten: $\overline{DF}$ und $\overline{EF}$. Hypotenuse: $\overline{DE}$.
4. $\sqrt{50} \approx 7.07$ m. Eine Seite ist etwa 7.07 m lang.
5. Seite: $\sqrt{2.25} = 1.5$ m. Umfang: $4 \cdot 1.5 = 6$ m.
6. Nein. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Eine Kathete von 9 cm ist länger als 7 cm, das ist unmöglich.
7. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Die Wurzel einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln. Das ist beim Satz des Pythagoras wichtig.
8. $0.3$ und $-0.3$, denn $(-0.3) \cdot (-0.3) = 0.09$. Das Wurzelzeichen bezeichnet nur die positive Lösung. Längen sind ohnehin nie negativ.