Satz des Pythagoras entdecken und beweisen

Einstieg

Zeichne auf Häuschenpapier ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 Häuschen und 4 Häuschen. Miss die dritte Seite: Sie ist genau 5 Häuschen lang. Zeichne jetzt über jede Seite ein Quadrat und zähle die Häuschen darin.

Du findest 9, 16 und 25. Und $9 + 16 = 25$. Ist das Zufall, oder steckt eine Regel dahinter?

Erklärung

Die Entdeckung

Die beiden Quadrate über den Katheten sind zusammen genau so gross wie das Quadrat über der Hypotenuse. Das gilt nicht nur für 3, 4 und 5, sondern für jedes rechtwinklige Dreieck. Diese Aussage heisst Satz des Pythagoras, nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras von Samos, der im 6. Jahrhundert vor Christus lebte. Bekannt war der Zusammenhang schon früher, zum Beispiel in Babylon.

Der Satz

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ gilt:

$a^2 + b^2 = c^2$

Merke dir den Satz in Worten: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse². Dann kannst du ihn auch anwenden, wenn die Seiten anders heissen.

Warum gilt der Satz immer? Der Ergänzungsbeweis

Ein paar Beispiele sind noch kein Beweis. Ein Beweis zeigt, dass es für jedes rechtwinklige Dreieck stimmt.

Nimm vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$. Lege sie auf zwei Arten in ein grosses Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$:

• Anordnung 1: Die Dreiecke liegen in den Ecken. In der Mitte bleibt ein Quadrat mit der Seite $c$ frei. Freie Fläche: $c^2$.
• Anordnung 2: Je zwei Dreiecke bilden ein Rechteck. Frei bleiben ein Quadrat mit der Seite $a$ und eines mit der Seite $b$. Freie Fläche: $a^2 + b^2$.

Beide grossen Quadrate sind gleich gross. In beiden liegen dieselben vier Dreiecke. Also muss auch die freie Fläche gleich gross sein:

$a^2 + b^2 = c^2$

Da wir für $a$ und $b$ keine bestimmten Zahlen gewählt haben, gilt das für jedes rechtwinklige Dreieck.

Und wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist?

Dann gilt der Satz nicht. Ist der Winkel gegenüber der längsten Seite kleiner als 90°, ist das Quadrat über der längsten Seite kleiner als die beiden anderen zusammen. Ist der Winkel grösser als 90°, ist es grösser.

Beispiele

Beispiel 1: Häuschen zählen. Katheten 6 und 8, Hypotenuse 10. $36 + 64 = 100$. Der Satz stimmt.

Beispiel 2: Andere Buchstaben. Im Dreieck $ABC$ liegt der rechte Winkel bei $A$. Gegenüber liegt die Seite $a$, sie ist die Hypotenuse. Also gilt $b^2 + c^2 = a^2$.

Beispiel 3: Flächen gegeben. Die Kathetenquadrate haben 25 cm² und 144 cm². Das Hypotenusenquadrat hat $25 + 144 = 169$ cm². Die Hypotenuse ist $\sqrt{169} = 13$ cm lang.

Merksatz

Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Mit $c$ als Hypotenuse: $a^2 + b^2 = c^2$. In anderen Dreiecken gilt das nicht.

Übungen

Grundlagen

1. Prüfe den Satz an einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten 5 cm und 12 cm und der Hypotenuse 13 cm.
2. Schreibe den Satz des Pythagoras für diese Dreiecke auf: a) Dreieck $ABC$, rechter Winkel bei $B$. b) Dreieck $PQR$ mit den Seiten $p$, $q$, $r$, rechter Winkel bei $R$.
3. Ein Kathetenquadrat hat 36 cm², das Hypotenusenquadrat 100 cm². Wie gross ist das andere Kathetenquadrat? Wie lang ist die andere Kathete?

Weiter

4. Rechne den Ergänzungsbeweis mit Zahlen nach: Katheten 3 cm und 7 cm, grosses Quadrat mit der Seite 10 cm. Berechne die Fläche der vier Dreiecke und die freie Fläche. Vergleiche mit $3^2 + 7^2$.
5. Ein Dreieck hat die Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm. Ist der Winkel gegenüber der 6-cm-Seite kleiner, gleich oder grösser als 90°?
6. Lars behauptet: „Bei den Seiten 2, 3 und 4 gilt $2^2 + 3^2 = 4^2$.“ Prüfe die Aussage.

Knobeln

7. Im Ergänzungsbeweis (Anordnung 1) ist die freie Figur in der Mitte ein Quadrat. Begründe, warum ihre Winkel 90° gross sind. Tipp: Die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben zusammen 90°.
8. Statt Quadraten werden über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Halbkreise gezeichnet. Gilt dann auch: Die beiden kleinen Halbkreise sind zusammen so gross wie der grosse? Begründe mit der Kreisformel $A = \pi r^2$.

Lösungen

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Der Satz stimmt.
2. a) Der rechte Winkel liegt bei $B$, die Hypotenuse ist $b$: $a^2 + c^2 = b^2$. b) Die Hypotenuse liegt gegenüber $R$, das ist $r$: $p^2 + q^2 = r^2$.
3. $100 - 36 = 64$ cm². Die andere Kathete ist $\sqrt{64} = 8$ cm lang.
4. Grosses Quadrat: $10 \cdot 10 = 100$ cm². Ein Dreieck: $\frac{3 \cdot 7}{2} = 10.5$ cm², vier Dreiecke: 42 cm². Frei: $100 - 42 = 58$ cm². Und $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$. Das passt, die Hypotenuse ist $\sqrt{58} \approx 7.62$ cm lang.
5. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$ und $6^2 = 36$. Das Quadrat über der längsten Seite ist kleiner, also ist der Winkel kleiner als 90°.
6. $4 + 9 = 13$, aber $4^2 = 16$. Die Aussage ist falsch. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, der Winkel gegenüber der Seite 4 ist grösser als 90°.
7. An jeder Ecke der freien Figur treffen auf einer Seite des grossen Quadrats drei Winkel zusammen: ein spitzer Winkel des einen Dreiecks, der Winkel der Figur und der andere spitze Winkel des nächsten Dreiecks. Zusammen ergeben sie 180° (gestreckter Winkel). Die beiden spitzen Winkel sind zusammen 90°, also bleibt für die Figur $180° - 90° = 90°$. Alle vier Seiten sind $c$ lang, also ist es ein Quadrat.
8. Ja. Ein Halbkreis über der Seite $s$ hat den Radius $\frac{s}{2}$ und die Fläche $\frac{1}{2} \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{8} s^2$. Aus $a^2 + b^2 = c^2$ folgt durch Multiplizieren mit $\frac{\pi}{8}$: $\frac{\pi}{8} a^2 + \frac{\pi}{8} b^2 = \frac{\pi}{8} c^2$.