Raumdiagonale und Sachaufgaben zum Satz des Pythagoras

Einstieg

Für die Schulreise packst du eine Kiste: 60 cm lang, 40 cm breit, 30 cm hoch. Dein Regenschirm ist 80 cm lang und passt nicht flach auf den Boden der Kiste. Passt er vielleicht schräg hinein, von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke?

Diese längste Strecke in einem Quader heisst Raumdiagonale. Du berechnest sie mit dem Satz des Pythagoras, und zwar zweimal hintereinander.

Erklärung

Die Raumdiagonale im Quader

Ein Quader hat die Kanten $a$, $b$ und $c$.

1. Bodendiagonale: Der Boden ist ein Rechteck. Seine Diagonale ist $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Raumdiagonale: Die Bodendiagonale $d$ und die senkrechte Kante $c$ bilden einen rechten Winkel. Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse: $e = \sqrt{d^2 + c^2}$.

Setzt du $d^2 = a^2 + b^2$ ein, erhältst du eine Formel in einem Schritt:

$e = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Sachaufgaben lösen

Bei Sachaufgaben ist das rechtwinklige Dreieck oft nicht gezeichnet. Gehe so vor:

1. Skizze zeichnen und alle bekannten Längen eintragen.
2. Das rechtwinklige Dreieck suchen: Wo steht etwas senkrecht auf etwas anderem (Wand und Boden, Höhe und waagrechte Strecke, Norden und Osten)?
3. Hypotenuse markieren, rechnen.
4. Antwortsatz mit Einheit. Prüfen, ob das Ergebnis zur Situation passt.

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	So vermeidest du ihn
$c$ ist immer die Hypotenuse	rechter Winkel bei $A$, trotzdem $a^2 + b^2 = c^2$	Hypotenuse vor dem Rechnen markieren
Kathete gesucht, aber addiert	$\sqrt{9^2 + 4^2}$ statt $\sqrt{9^2 - 4^2}$	Die Kathete muss kürzer als die Hypotenuse sein
Wurzel aus der Summe aufgeteilt	$\sqrt{36 + 64} = 6 + 8 = 14$	Zuerst addieren, dann Wurzel: $\sqrt{100} = 10$
Wurzel vergessen	$c = a^2 + b^2$	Am Schluss steht $c$, nicht $c^2$
Einheiten gemischt	2 m und 50 cm direkt eingesetzt	Alles in dieselbe Einheit umrechnen
zu früh gerundet	Bodendiagonale auf ganze cm gerundet, dann weitergerechnet	Zwischenergebnisse als $d^2$ oder im Rechner behalten

Beispiele

Beispiel 1: Regenschirm in der Kiste.

Bodendiagonale: $d = \sqrt{60^2 + 40^2} = \sqrt{5200} \approx 72.11$ cm. Das ist zu kurz für den Schirm.

Raumdiagonale: $e = \sqrt{60^2 + 40^2 + 30^2} = \sqrt{3600 + 1600 + 900} = \sqrt{6100} \approx 78.10$ cm.

Auch schräg passt der 80 cm lange Schirm nicht hinein, es fehlen knapp 2 cm.

Beispiel 2: Standseilbahn. Eine Standseilbahn überwindet 480 m Höhe. Waagrecht gemessen liegen Tal- und Bergstation 1400 m auseinander. Wie lang ist die Fahrstrecke, wenn die Strecke gerade ist?

$s = \sqrt{1400^2 + 480^2} = \sqrt{1\text{'}960\text{'}000 + 230\text{'}400} = \sqrt{2\text{'}190\text{'}400} = 1480$ m.

Beispiel 3: Luftlinie. Auf einer Wanderkarte liegt die Hütte 2.4 km östlich und 1.8 km nördlich des Parkplatzes. Osten und Norden stehen senkrecht aufeinander.

Luftlinie: $\sqrt{2.4^2 + 1.8^2} = \sqrt{5.76 + 3.24} = \sqrt{9} = 3$ km.

Merksatz

Raumdiagonale im Quader: $e = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Bei Sachaufgaben zuerst eine Skizze zeichnen, das rechtwinklige Dreieck suchen und die Hypotenuse markieren. Erst am Schluss runden.

Übungen

Grundlagen

1. Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 m. Berechne die Flächendiagonale und die Raumdiagonale.
2. Ein Quader ist 80 cm lang, 50 cm breit und 40 cm hoch. Berechne die Raumdiagonale.
3. Ein Drachen steigt an einer 65 m langen, straff gespannten Schnur. Er steht genau über einem Punkt, der 25 m von der Hand entfernt ist. Wie hoch fliegt er über der Hand?

Weiter

4. Die Fahrstrecke einer anderen Standseilbahn ist 1480 m lang, der Höhenunterschied beträgt 480 m. Wie gross ist die waagrechte Entfernung zwischen Tal- und Bergstation?
5. Ein Schrank liegt auf dem Rücken. Er ist 2.2 m hoch und 0.6 m tief. Das Zimmer ist 2.3 m hoch. Kann man den Schrank aufrichten, ohne an die Decke zu stossen? Zeichne eine Skizze.
6. Mia rechnet für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 8 cm: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 6 + 8 = 14$ cm. Finde den Fehler und rechne richtig.

Knobeln

7. Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Seite 6 m). Die vier Kanten von den Ecken zur Spitze sind je 5 m lang. Wie hoch ist das Zelt? Tipp: Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
8. Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Wand, ihr Fuss steht 1.4 m von der Wand entfernt. Der Fuss rutscht weg, bis er 3 m von der Wand entfernt ist. Um wie viel ist das obere Ende der Leiter nach unten gerutscht?

Lösungen

1. Flächendiagonale: $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2.83$ m. Raumdiagonale: $\sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} \approx 3.46$ m.
2. $e = \sqrt{6400 + 2500 + 1600} = \sqrt{10\text{'}500} \approx 102.47$ cm.
3. Die Schnur ist die Hypotenuse. $h = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60$ m.
4. $w = \sqrt{1480^2 - 480^2} = \sqrt{2\text{'}190\text{'}400 - 230\text{'}400} = \sqrt{1\text{'}960\text{'}000} = 1400$ m.
5. Beim Aufrichten dreht sich der Schrank um eine untere Kante. Die längste Strecke, die dabei nach oben zeigt, ist die Diagonale der Seitenfläche: $\sqrt{2.2^2 + 0.6^2} = \sqrt{4.84 + 0.36} = \sqrt{5.2} \approx 2.28$ m. Das ist weniger als 2.3 m, der Schrank passt knapp.
6. Mia hat die Wurzel auf die Summe aufgeteilt. Richtig: $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
7. Halbe Diagonale der Grundfläche: $\frac{1}{2} \sqrt{6^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{72} \approx 4.24$ m, also ist ihr Quadrat $\frac{72}{4} = 18$. Höhe: $h = \sqrt{5^2 - 18} = \sqrt{7} \approx 2.65$ m.
8. Vorher: $\sqrt{5^2 - 1.4^2} = \sqrt{25 - 1.96} = \sqrt{23.04} = 4.8$ m. Nachher: $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ m. Das obere Ende ist um 0.8 m nach unten gerutscht.