Hypotenuse berechnen und Kathete berechnen

Einstieg

Der Pausenplatz eurer Schule ist ein Rechteck, 24 m lang und 7 m breit. Wer vom Eingang zur gegenüberliegenden Ecke will, geht oft quer darüber statt aussen herum. Wie lang ist der Weg quer über den Platz?

Die beiden Ränder bilden einen rechten Winkel, der Weg quer darüber ist die Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du ihn berechnen, ohne zu messen.

Erklärung

Die Hypotenuse berechnen

Sind beide Katheten bekannt, addierst du ihre Quadrate und ziehst die Wurzel:

$c^2 = a^2 + b^2 \quad\Rightarrow\quad c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Eine Kathete berechnen

Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, stellst du die Gleichung um. Du subtrahierst das bekannte Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat:

$a^2 = c^2 - b^2 \quad\Rightarrow\quad a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Hier wird subtrahiert. Wer addiert, erhält eine Kathete, die länger ist als die Hypotenuse. Das kann nicht stimmen.

Vorgehen in fünf Schritten

1. Skizze zeichnen und den rechten Winkel markieren.
2. Hypotenuse suchen (gegenüber dem rechten Winkel) und farbig nachziehen.
3. Gleichung in Worten aufschreiben: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse².
4. Einsetzen, nach dem gesuchten Quadrat auflösen, Wurzel ziehen.
5. Prüfen: Ist die Hypotenuse die längste Seite? Stimmen die Einheiten?

Beispiele

Beispiel 1: Pausenplatz. Katheten 24 m und 7 m.

$c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ m.

Der Weg quer über den Platz ist 25 m lang. Aussen herum sind es $24 + 7 = 31$ m. Die Abkürzung spart 6 m.

Beispiel 2: Kathete gesucht. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 13 cm und eine Kathete 5 cm lang.

$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm.

Beispiel 3: Zelt im Lager. Ein Zeltpfosten ist 2.4 m hoch. Von seiner Spitze führt eine gespannte Schnur zu einem Hering, der 1 m vom Fuss des Pfostens entfernt im Boden steckt. Wie lang ist die Schnur?

Pfosten und Boden bilden den rechten Winkel, die Schnur ist die Hypotenuse.

$s = \sqrt{2.4^2 + 1^2} = \sqrt{5.76 + 1} = \sqrt{6.76} = 2.6$ m.

Beispiel 4: Ergebnis mit Rechner. Katheten 5 cm und 7 cm.

$c = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \approx 8.60$ cm. Kontrolle: länger als 7 cm, aber kürzer als $5 + 7 = 12$ cm.

Merksatz

Hypotenuse gesucht: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, die Quadrate werden addiert. Kathete gesucht: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, vom Hypotenusenquadrat wird subtrahiert. Zuerst immer den rechten Winkel und die Hypotenuse in einer Skizze markieren.

Übungen

Grundlagen

1. Berechne die Hypotenuse: a) Katheten 8 cm und 15 cm, b) Katheten 1.8 m und 2.4 m, c) Katheten 4 cm und 9 cm (auf zwei Stellen nach dem Punkt).
2. Berechne die fehlende Kathete: a) $c = 26$ cm, $a = 10$ cm, b) $c = 17$ m, $b = 8$ m, c) $c = 9$ cm, $a = 4$ cm (auf zwei Stellen nach dem Punkt).
3. Ein Rechteck ist 16 cm lang und 12 cm breit. Wie lang ist seine Diagonale?

Weiter

4. Bei der Feuerwehrübung lehnt eine 6 m lange Leiter an einer Hauswand. Ihr Fuss steht 1.6 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter? Runde auf Zentimeter.
5. Ein Fussballfeld ist 105 m lang und 68 m breit. Wie lang ist die Diagonale? Wie viele Meter spart man, wenn man diagonal statt aussen herum geht?
6. Ein Handy hat eine Bildschirmdiagonale von 6.1 Zoll (1 Zoll = 2.54 cm). Der Bildschirm ist 7.1 cm breit. Wie hoch ist er?

Knobeln

7. Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind gleich lang. Die Hypotenuse ist 10 cm lang. Wie lang sind die Katheten?
8. Jonas rechnet bei einer gesuchten Kathete mit $c = 9$ und $b = 4$: $a = \sqrt{81 + 16} \approx 9.85$. Woran erkennt er ohne Nachrechnen, dass das falsch ist?

Lösungen

1. a) $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ cm. b) $\sqrt{3.24 + 5.76} = \sqrt{9} = 3$ m. c) $\sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \approx 9.85$ cm.
2. a) $\sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ cm. b) $\sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ m. c) $\sqrt{81 - 16} = \sqrt{65} \approx 8.06$ cm.
3. $d = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ cm.
4. Die Leiter ist die Hypotenuse. $h = \sqrt{6^2 - 1.6^2} = \sqrt{36 - 2.56} = \sqrt{33.44} \approx 5.78$ m.
5. $d = \sqrt{105^2 + 68^2} = \sqrt{11025 + 4624} = \sqrt{15649} \approx 125.10$ m. Aussen herum: $105 + 68 = 173$ m. Ersparnis: etwa 47.90 m.
6. Diagonale: $6.1 \cdot 2.54 = 15.494$ cm. Höhe: $\sqrt{15.494^2 - 7.1^2} = \sqrt{240.064 - 50.41} = \sqrt{189.654} \approx 13.77$ cm.
7. $x^2 + x^2 = 100$, also $2x^2 = 100$, $x^2 = 50$ und $x = \sqrt{50} \approx 7.07$ cm.
8. Eine Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse. 9.85 ist länger als 9, also muss ein Fehler vorliegen. Jonas hat addiert statt subtrahiert. Richtig: $a = \sqrt{81 - 16} = \sqrt{65} \approx 8.06$.