Matemáticas · España · ESO

Teorema de Pitágoras

Una unidad didáctica sobre el teorema de Pitágoras para 2.º ESO según el sentido espacial del Real Decreto 217/2022. Repasa catetos, hipotenusa y raíces cuadradas, descubre la relación con cuadrados de cuadrícula y la demuestra con un argumento de áreas. Después practica el cálculo de hipotenusas y catetos, usa el recíproco para reconocer triángulos rectángulos y aplica el teorema en diagonales, alturas, distancias en el plano y cajas.

Cursos: 2.º ESO
Etapa: IES, Colegio concertado, Colegio privado
Duración: 10 sesiones
Materia: Matemáticas
Ámbito: España

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Objetivos de aprendizaje

El alumnado identifica catetos e hipotenusa en triángulos rectángulos con cualquier notación.
Calcula y estima raíces cuadradas y reconoce que la raíz de una suma no es la suma de las raíces.
Explica una demostración del teorema de Pitágoras basada en áreas.
Calcula la hipotenusa o un cateto y resuelve problemas contextualizados con dibujo previo.
Usa el recíproco del teorema para clasificar triángulos en acutángulos, rectángulos u obtusángulos y reconoce ternas pitagóricas.
Aplica el teorema en figuras planas, en el plano de coordenadas y en ortoedros, y detecta errores típicos.

Relación con el currículo (LOMLOE)

Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo (LOMLOE), Matemáticas (abre una página externa)

Competencia específica: CE1 Interpretar, modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y propios de las matemáticas, aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, para explorar distintas maneras de proceder y obtener posibles soluciones.
Competencia específica: CE3 Formular y comprobar conjeturas sencillas o plantear problemas de forma autónoma, reconociendo el valor del razonamiento y la argumentación, para generar nuevo conocimiento.
Saber básico: 1-3/C.1.2 Relaciones geométricas como la congruencia, la semejanza y la relación pitagórica en figuras planas y tridimensionales: identificación y aplicación.
Saber básico: 1-3/B.2.1 Longitudes, áreas y volúmenes en figuras planas y tridimensionales: deducción, interpretación y aplicación.
Saber básico: 1-3/A.3.3 Relaciones inversas entre las operaciones (adición y sustracción; multiplicación y división; elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada): comprensión y utilización en la simplificación y resolución de problemas.
Saber básico: 1-3/C.2.1 Relaciones espaciales: localización y descripción mediante coordenadas geométricas y otros sistemas de representación.
Saber básico: 1-3/C.4.1 Modelización geométrica: relaciones numéricas y algebraicas en la resolución de problemas.
Saber básico: 1-3/C.4.2 Relaciones geométricas en contextos matemáticos y no matemáticos (arte, ciencia, vida diaria…).
Criterio de evaluación: 1-3/3.1 Formular y comprobar conjeturas sencillas de forma guiada analizando patrones, propiedades y relaciones.
Criterio de evaluación: 1-3/2.1 Comprobar la corrección matemática de las soluciones de un problema.

Desarrollo

Bloque 1
Catetos, hipotenusa y raíces cuadradas
Triángulos rectángulos, catetos e hipotenusa con cualquier notación, cuadrados perfectos, raíz cuadrada como operación inversa y estimación de raíces.
- Lección
  Catetos, hipotenusa y raíces cuadradas
  En el patio del instituto hay una zona de césped rectangular de 40 m por 30 m. Para llegar antes a la cafetería, casi todo el mundo cruza en…
- Consejo
  Aprende de memoria los cuadrados de 1 a 20 (hasta 400). Así reconocerás al momento muchos resultados del teorema de Pitágoras.
Bloque 2
El teorema de Pitágoras y su demostración
Descubrimiento con cuadrados de cuadrícula, enunciado con palabras y con letras, demostración por áreas con cuatro triángulos y límites del teorema.
- Lección
  Teorema de Pitágoras: enunciado y demostración
  Hace casi 4000 años, en Mesopotamia, ya se conocían ternas como 3, 4, 5 y la relación entre los lados (tablilla Plimpton 322). Muchos siglos…
- Material
  Demostración del teorema de Pitágoras (applet interactiva) (abre una página externa)
  GeoGebra, licencia: Licencia GeoGebra (uso no comercial), solo enlazado
- Tarea
  Demostración con papel
  Recorta cuatro triángulos rectángulos iguales de catetos 4 cm y 6 cm. Dibuja un cuadrado de 10 cm de lado.
  1. Coloca los triángulos de las dos formas descritas en la lección y haz una foto o un dibujo de cada colocación.
  2. Calcula en los dos casos el área que queda libre.
  3. Explica en tres o cuatro frases por qué esto demuestra el teorema para todos los triángulos rectángulos y no solo para este.
Bloque 3
Calcular la hipotenusa y un cateto
Fórmulas para la hipotenusa y para un cateto, procedimiento en cinco pasos, problemas de escaleras, cometas y pantallas, comprobación del resultado.
- Lección
  Calcular la hipotenusa y un cateto con el teorema de Pitágoras
  Volvemos al césped del patio de la lección 1: 40 m de largo y 30 m de ancho, con un camino en diagonal. Los dos bordes del césped forman un ángulo…
- Para recordar
  Hipotenusa: se suman los cuadrados. Cateto: se restan. La hipotenusa es siempre el lado más largo.
Bloque 4
Reconocer triángulos rectángulos: el recíproco
Recíproco del teorema, diferencia entre teorema y recíproco, clasificación en acutángulo, rectángulo y obtusángulo, ternas pitagóricas y la cuerda de los albañiles.
- Lección
  Recíproco del teorema de Pitágoras y ternas pitagóricas
  Un albañil está replanteando una caseta en un huerto de Murcia y necesita que una esquina forme un ángulo recto exacto. No tiene escuadra grande…
- Material
  Terna pitagórica (artículo de consulta) (abre una página externa)
  Wikipedia, licencia: CC BY-SA 4.0
- Tarea
  ¿Son rectas las esquinas?
  Con una cinta métrica, comprueba dos esquinas de tu casa o del instituto (una mesa, un marco de puerta, una baldosa grande).
  1. Mide desde la esquina una distancia en cada lado que forme una terna pitagórica (por ejemplo 30 cm y 40 cm).
  2. Mide la distancia entre las dos marcas y compárala con la esperada.
  3. Decide si el ángulo es recto, agudo u obtuso y justifica tu respuesta con el recíproco del teorema.
Bloque 5
Aplicaciones y errores típicos
Diagonales de rectángulos y cuadrados, alturas de triángulos isósceles y equiláteros, distancia entre puntos, diagonal del ortoedro, tabla de errores frecuentes.
- Lección
  Aplicaciones del teorema de Pitágoras en figuras planas y cuerpos
  ¿Cabe una barra de cortina de 1,5 m en un maletero? ¿Qué altura tiene el tejado a dos aguas de una casa de pueblo? ¿Qué distancia hay en línea recta…
- Tarea
  Pitágoras a tu alrededor
  Busca en tu entorno una longitud difícil de medir que puedas calcular con el teorema de Pitágoras (la diagonal de una habitación, la barandilla de una escalera, la altura de un tobogán…).
  1. Haz un dibujo con todas las medidas que tomes.
  2. Calcula la longitud buscada.
  3. Si puedes, mídela para comprobarlo y explica de dónde puede venir la diferencia.

Notas para el profesorado

Temporalización (unas 10 sesiones)

Bloque	Sesiones	Contenido
1 Catetos, hipotenusa y raíces	1	Vocabulario, cuadrados perfectos, estimación de raíces
2 Teorema y demostración	2	Cuadrados de cuadrícula, enunciado, demostración por áreas
3 Hipotenusa y cateto	2	Dos fórmulas, pasos, problemas contextualizados
4 Recíproco y ternas	2	Recíproco, clasificación de triángulos, ternas pitagóricas
5 Aplicaciones y errores	3	Figuras planas, coordenadas, ortoedros, tabla de errores

Marco curricular

El Real Decreto 217/2022 incluye en el sentido espacial, para 1.º a 3.º de ESO, la identificación y aplicación de la relación pitagórica en figuras planas y tridimensionales. Cada comunidad autónoma completa estas enseñanzas mínimas con su decreto y asigna los saberes a cada curso. En la mayoría de programaciones el teorema se trabaja en 2.º ESO; compruebe el decreto de su comunidad.

Orientaciones didácticas

Formule el teorema con palabras (hipotenusa² = cateto² + cateto²). Así el alumnado no depende de las letras $a$ , $b$ , $c$ y no se equivoca cuando el ángulo recto está en otro vértice.
Deje que el alumnado recorte cuatro triángulos iguales y reproduzca la demostración de la lección 2 antes de leerla. La competencia específica 3 pide formular y comprobar conjeturas; la diferencia entre comprobar y demostrar se trata en el reto 8.
Insista en la diferencia entre teorema y recíproco (lección 4). Es un buen momento para trabajar la estructura "si…, entonces…".
La diagonal del ortoedro (lección 5) aplica el teorema dos veces. Si el grupo lo necesita, construya una caja con varillas o use un modelo 3D.
En la rampa de la lección 5 puede abrir una conversación sobre accesibilidad en el propio centro.

Errores frecuentes

Suponer que $c$ es siempre la hipotenusa.
Sumar cuadrados cuando se busca un cateto.
Restar longitudes en lugar de cuadrados ( $a = c - b$ ).
Creer que $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ .
Aplicar el teorema a triángulos no rectángulos.
Confundir teorema y recíproco al justificar.
Redondear resultados intermedios.

Atención a la diversidad

Ejercicios básicos: ternas pitagóricas, para que las raíces sean exactas y el foco esté en el procedimiento.
Ejercicios avanzados: problemas con dibujo, raíces con calculadora y unidades.
Reto: generadores de ternas, semicírculos sobre los lados, razones entre catetos, trapecios.
La applet de GeoGebra enlazada permite manipular la demostración.

Competencias específicas

CE1: problemas de escaleras, cometas, pantallas, tejados y cajas.
CE3: conjeturar a partir de cuadrados de cuadrícula y demostrar.
La representación con dibujos previos trabaja además la competencia específica 7.

Preguntas frecuentes

¿En qué curso se estudia el teorema de Pitágoras?

El Real Decreto 217/2022 incluye la relación pitagórica en los saberes de 1.º a 3.º de ESO. La mayoría de comunidades y programaciones la sitúan en 2.º ESO y la retoman en 3.º ESO. Consulte el decreto de su comunidad autónoma.

¿Cuántas sesiones necesita la unidad?

Unas 10 sesiones. Si el grupo ya domina las raíces cuadradas, el primer bloque puede ser un repaso breve al inicio de la sesión 2.

¿Hace falta saber identidades notables para la demostración?

No. La demostración de la lección 2 usa solo áreas de cuadrados y triángulos. Las identidades notables aparecen únicamente en un ejercicio de reto de la lección 4.

¿Incluye el teorema del cateto y el de la altura?

No. La unidad se centra en el teorema de Pitágoras y su recíproco. El teorema del cateto y el de la altura pueden añadirse como ampliación en 3.º o 4.º ESO.

Fuentes

Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria (Agencia Estatal Boletín Oficial del Estado, licencia: Texto legal oficial, consultado el 03/11/2026)
Teorema de Pitágoras (Wikipedia, licencia: CC BY-SA 4.0, consultado el 03/11/2026)
Terna pitagórica (Wikipedia, licencia: CC BY-SA 4.0, consultado el 03/11/2026)
Demostración del Teorema de Pitágoras (GeoGebra, licencia: Licencia GeoGebra (uso no comercial), solo enlazado, consultado el 03/11/2026)

Créditos de las imágenes

Imagen de portada: Generada con IA
Triángulo rectángulo: los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos a y b; el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa c.: Elaboración propia
Triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 con un cuadrado cuadriculado sobre cada lado: 9, 16 y 25 cuadros. Se cumple 9 + 16 = 25.: Elaboración propia

Ecuaciones de primer grado
Matemáticas · 2.º ESO
Fracciones
Matemáticas · 1.º ESO

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