Calcular la hipotenusa y un cateto con el teorema de Pitágoras

Introducción

Volvemos al césped del patio de la lección 1: 40 m de largo y 30 m de ancho, con un camino en diagonal. Los dos bordes del césped forman un ángulo recto y el camino es la hipotenusa. Con el teorema de Pitágoras ya puedes calcular su longitud sin medir.

Explicación

Calcular la hipotenusa

Si conoces los dos catetos, suma sus cuadrados y saca la raíz:

$c^2 = a^2 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Calcular un cateto

Si conoces la hipotenusa y un cateto, despeja. Al cuadrado de la hipotenusa le restas el cuadrado del cateto conocido:

$a^2 = c^2 - b^2 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Aquí se resta, no se suma. Es el error más frecuente.

Paso a paso

1. Haz un dibujo y marca el ángulo recto.
2. Localiza la hipotenusa (enfrente del ángulo recto) y repásala con color.
3. Escribe el teorema con palabras: cateto² + cateto² = hipotenusa².
4. Sustituye, despeja el cuadrado que buscas y saca la raíz.
5. Comprueba: la hipotenusa tiene que ser el lado más largo. Todas las medidas en la misma unidad.

Ejemplos

Ejemplo 1: el camino del patio. Catetos 40 m y 30 m, buscamos la hipotenusa.

$c = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ m.

El camino mide 50 m. Rodeando el césped se recorren $40 + 30 = 70$ m, así que se ahorran 20 m.

Ejemplo 2: un cateto. Hipotenusa 10 cm, un cateto 6 cm.

$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm.

Ejemplo 3: la escalera. Una escalera de 5 m está apoyada en una pared. Su pie está a 1,5 m de la pared. ¿A qué altura llega?

La pared y el suelo forman el ángulo recto; la escalera es la hipotenusa.

$h = \sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{25 - 2{,}25} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77$ m.

Ejemplo 4: resultado no exacto. Catetos 2 cm y 5 cm.

$c = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$ cm. Comprobación: es mayor que 5 cm (el cateto mayor) y menor que $2 + 5 = 7$ cm.

Ejemplo 5: pantalla. Las pantallas se miden por su diagonal en pulgadas (1 pulgada = 2,54 cm). Una tableta mide 24 cm de ancho y 18 cm de alto. Su diagonal es $\sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ cm, es decir, $30 : 2{,}54 \approx 11{,}8$ pulgadas.

Recuerda

Hipotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, se suman los cuadrados. Cateto: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, se resta del cuadrado de la hipotenusa. Antes de calcular, dibuja y marca la hipotenusa.

Ejercicios

Básicos

1. Calcula la hipotenusa: a) catetos 9 cm y 12 cm; b) catetos 8 m y 15 m; c) catetos 2,5 cm y 6 cm.
2. Calcula el cateto que falta: a) hipotenusa 25 cm, cateto 7 cm; b) hipotenusa 13 m, cateto 5 m; c) hipotenusa 9 cm, cateto 4 cm (redondea a las décimas).
3. Un rectángulo mide 12 cm de largo y 5 cm de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal?

Avanzados

4. Hugo debe calcular un cateto con hipotenusa 10 cm y otro cateto 6 cm. Escribe $\sqrt{100 + 36} \approx 11{,}66$ cm. ¿Cómo puede saber, sin repetir el cálculo, que está mal?
5. Una cometa está sujeta con un hilo tenso de 50 m. Está justo encima de un punto que se encuentra a 30 m de Clara. ¿A qué altura vuela sobre la mano de Clara?
6. Un televisor tiene 55 pulgadas de diagonal y 121,8 cm de ancho. ¿Qué altura tiene? Redondea a los milímetros.

Reto

7. Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón $3 : 4$ y la hipotenusa mide 35 cm. ¿Cuánto miden los catetos?
8. En un triángulo rectángulo un cateto mide el doble que el otro y la hipotenusa mide 10 cm. Calcula los catetos con dos decimales.

Soluciones

1. a) $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm. b) $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ m. c) $\sqrt{6{,}25 + 36} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5$ cm.
2. a) $\sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ cm. b) $\sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ m. c) $\sqrt{81 - 16} = \sqrt{65} \approx 8{,}1$ cm.
3. $\sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ cm.
4. Un cateto siempre es más corto que la hipotenusa, y 11,66 cm es más que 10 cm. Ha sumado en lugar de restar. Correcto: $\sqrt{100 - 36} = 8$ cm.
5. El hilo es la hipotenusa. $h = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$ m.
6. Diagonal: $55 \cdot 2{,}54 = 139{,}7$ cm. Altura: $\sqrt{139{,}7^2 - 121{,}8^2} = \sqrt{19\,516{,}09 - 14\,835{,}24} = \sqrt{4680{,}85} \approx 68{,}4$ cm.
7. Catetos $3k$ y $4k$: $9k^2 + 16k^2 = 25k^2 = 35^2 = 1225$. $k^2 = 49$, $k = 7$. Catetos: 21 cm y 28 cm.
8. Catetos $x$ y $2x$: $x^2 + 4x^2 = 5x^2 = 100$, $x^2 = 20$, $x = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ cm. El otro: $2\sqrt{20} \approx 8{,}94$ cm. Comprobación: $20 + 80 = 100$.