Recíproco del teorema de Pitágoras y ternas pitagóricas: Teorema de Pitágoras

Introducción

Un albañil está replanteando una caseta en un huerto de Murcia y necesita que una esquina forme un ángulo recto exacto. No tiene escuadra grande, solo una cinta métrica. Mide 3 m en un lado y 4 m en el otro, y ajusta hasta que la distancia entre las dos marcas sea exactamente 5 m. Entonces sabe que el ángulo es recto. ¿Por qué funciona?

Explicación

El recíproco del teorema

El teorema de Pitágoras dice: si un triángulo es rectángulo, entonces $c^2 = a^2 + b^2$ .

El recíproco intercambia hipótesis y conclusión: si en un triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, entonces el triángulo es rectángulo. El ángulo recto está enfrente del lado mayor.

Las dos afirmaciones son ciertas, pero son distintas. El teorema sirve para calcular lados de un triángulo que ya sabes que es rectángulo. El recíproco sirve para comprobar si un triángulo es rectángulo.

Acutángulo, rectángulo u obtusángulo

Si $c$ es el lado mayor de un triángulo, compara $c^2$ con $a^2 + b^2$ :

Comparación	Tipo de triángulo
$c^2 = a^2 + b^2$	rectángulo
$c^2 < a^2 + b^2$	acutángulo (todos los ángulos agudos)
$c^2 > a^2 + b^2$	obtusángulo (un ángulo obtuso)

Puedes imaginarlo así: si abres el ángulo entre $a$ y $b$ más allá de 90°, el lado opuesto se alarga; si lo cierras, se acorta.

Ternas pitagóricas

Tres números naturales $a$ , $b$ , $c$ con $a^2 + b^2 = c^2$ forman una terna pitagórica. Las más usadas son:

$(3, 4, 5) \quad (5, 12, 13) \quad (8, 15, 17) \quad (7, 24, 25)$

Si multiplicas una terna por el mismo número, obtienes otra: $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ , $(30, 40, 50)$ …

Ejemplos

Ejemplo 1: el albañil. Lados 3, 4 y 5: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ . Por el recíproco, el ángulo opuesto al lado de 5 m es recto. Con la terna $(6, 8, 10)$ el método es más preciso, porque los errores de medida pesan menos.

Ejemplo 2: clasificar. Lados 7, 8 y 11. Lado mayor: 11. $11^2 = 121$ y $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$ . Como $121 > 113$ , el triángulo es obtusángulo.

Ejemplo 3: clasificar. Lados 6, 7 y 9. $9^2 = 81$ y $36 + 49 = 85$ . Como $81 < 85$ , es acutángulo.

Ejemplo 4: con decimales. Lados 1,5 m, 2 m y 2,5 m. $2{,}5^2 = 6{,}25$ y $2{,}25 + 4 = 6{,}25$ . Es rectángulo. Es la terna $(3, 4, 5)$ multiplicada por 0,5.

Ejemplo 5: el orden importa. Lados 13, 5 y 12. Antes de comparar, identifica el lado mayor: 13. $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ . Rectángulo. Si hubieras tomado el último número (12) como lado mayor, la comparación no tendría sentido.

Recuerda

Para saber si un triángulo es rectángulo, toma el lado mayor $c$ y compara $c^2$ con la suma de los cuadrados de los otros dos. Igual: rectángulo. Menor: acutángulo. Mayor: obtusángulo. Teorema y recíproco son dos afirmaciones distintas.

Ejercicios

Básicos

¿Son rectángulos los triángulos con estos lados? a) 8, 15, 17; b) 6, 9, 11; c) 20, 21, 29.
Clasifica en acutángulo, rectángulo u obtusángulo: a) 4, 6, 7; b) 5, 6, 9; c) 10, 24, 26.
Escribe tres ternas pitagóricas que se obtengan a partir de $(5, 12, 13)$ .

Avanzados

Una mesa rectangular mide 120 cm por 50 cm. Al medir la diagonal, Lola obtiene 131 cm. ¿Son rectas las esquinas? ¿Qué valor debería salir?
Explica la diferencia entre estas dos frases: "Como el triángulo es rectángulo, $c^2 = a^2 + b^2$ " y "Como $c^2 = a^2 + b^2$ , el triángulo es rectángulo". ¿Cuál usa el teorema y cuál el recíproco?
Un triángulo tiene lados 9 cm y 12 cm y un tercer lado desconocido $x$ , que es el mayor. ¿Qué valor debe tener $x$ para que sea rectángulo? ¿Y para que sea obtusángulo?

Reto

Comprueba que para cualquier número natural $n \geq 2$ , los números $n^2 - 1$ , $2n$ y $n^2 + 1$ forman una terna pitagórica. Pruébalo con $n = 2, 3, 4$ y después con letras.
Busca en tu casa o en el instituto una esquina que parezca recta (una mesa, una puerta, una baldosa). Explica cómo comprobarías con una cinta métrica si el ángulo es recto.

Soluciones

a) $64 + 225 = 289 = 17^2$ : sí. b) $36 + 81 = 117 \neq 121$ : no. c) $400 + 441 = 841 = 29^2$ : sí.
a) $49 < 16 + 36 = 52$ : acutángulo. b) $81 > 25 + 36 = 61$ : obtusángulo. c) $676 = 100 + 576$ : rectángulo.
Por ejemplo $(10, 24, 26)$ , $(15, 36, 39)$ y $(50, 120, 130)$ .
Si las esquinas fueran rectas, la diagonal mediría $\sqrt{120^2 + 50^2} = \sqrt{14\,400 + 2500} = \sqrt{16\,900} = 130$ cm. Ha medido 131 cm, así que $131^2 = 17\,161 > 16\,900$ : el ángulo es algo mayor de 90°. Las esquinas no son exactamente rectas (o la medida tiene un pequeño error).
La primera parte de que el triángulo es rectángulo y concluye la relación: es el teorema. La segunda parte de la relación y concluye que es rectángulo: es el recíproco.
Rectángulo: $x = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm. Obtusángulo: $x > 15$ cm. Además, para que el triángulo exista, $x < 9 + 12 = 21$ cm, así que $15 < x < 21$ .
$n = 2$ : $(3, 4, 5)$ . $n = 3$ : $(8, 6, 10)$ . $n = 4$ : $(15, 8, 17)$ . Con letras: $(n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2$ .
Respuesta abierta. Ejemplo: marcar 30 cm en un lado y 40 cm en el otro desde la esquina y medir la distancia entre las marcas. Si es 50 cm, el ángulo es recto; si es más, es obtuso; si es menos, agudo.