Catetos, hipotenusa y raíces cuadradas

Introducción

En el patio del instituto hay una zona de césped rectangular de 40 m por 30 m. Para llegar antes a la cafetería, casi todo el mundo cruza en diagonal, de una esquina a la opuesta, y ya se ha formado un camino de tierra. ¿Cuántos metros se ahorran así? Para responder necesitas el teorema de Pitágoras. Antes conviene repasar dos cosas: los triángulos rectángulos y las raíces cuadradas.

Explicación

Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°). Sus lados tienen nombre propio:

• Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto.
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es siempre el lado más largo.

Es habitual llamar $a$ y $b$ a los catetos y $c$ a la hipotenusa, pero en muchos ejercicios las letras cambian. Lo importante no es la letra, sino dónde está el ángulo recto: la hipotenusa está siempre enfrente.

Cuadrados y raíces cuadradas

El cuadrado de un número es el número multiplicado por sí mismo: $7^2 = 49$. Geométricamente, es el área de un cuadrado de lado 7.

La raíz cuadrada es la operación inversa: $\sqrt{49} = 7$, porque $7^2 = 49$. Responde a la pregunta "¿qué lado tiene un cuadrado de área 49?". En geometría solo usamos la raíz positiva, porque una longitud no puede ser negativa.

Los cuadrados perfectos son los cuadrados de números naturales: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225… Sus raíces son exactas.

Estimar raíces cuadradas

Si un número no es cuadrado perfecto, su raíz no es un número entero. Puedes acotarla entre dos enteros:

$\sqrt{50}$: como $49 < 50 < 64$, entonces $7 < \sqrt{50} < 8$. Y como 50 está muy cerca de 49, $\sqrt{50}$ estará muy cerca de 7. Con calculadora: $\sqrt{50} \approx 7{,}07$.

Cuidado: la raíz de una suma

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, pero $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. La raíz de una suma no es la suma de las raíces. Primero se calcula lo de dentro de la raíz y después la raíz.

Ejemplos

Ejemplo 1: identificar la hipotenusa. En el triángulo $PQR$ el ángulo recto está en $Q$. La hipotenusa es el lado opuesto a $Q$, es decir, $\overline{PR}$. Los catetos son $\overline{PQ}$ y $\overline{QR}$.

Ejemplo 2: raíces exactas. $\sqrt{144} = 12$, $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ (porque $0{,}5^2 = 0{,}25$), $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

Ejemplo 3: estimar. $\sqrt{90}$: $81 < 90 < 100$, así que $9 < \sqrt{90} < 10$. Calculadora: $\sqrt{90} \approx 9{,}49$.

Ejemplo 4: lado de un cuadrado. Una plaza cuadrada tiene 625 m² de superficie. Su lado mide $\sqrt{625} = 25$ m.

Recuerda

En un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo recto y la hipotenusa está enfrente: es el lado más largo. La raíz cuadrada deshace el cuadrado: $\sqrt{a^2} = a$ para longitudes. La raíz de una suma no es la suma de las raíces.

Ejercicios

Básicos

1. En un triángulo $ABC$ el ángulo recto está en $C$. ¿Qué lado es la hipotenusa? ¿Cuáles son los catetos?
2. Calcula sin calculadora: a) $\sqrt{81}$; b) $\sqrt{169}$; c) $\sqrt{400}$; d) $\sqrt{1{,}44}$.
3. ¿Entre qué dos números enteros está cada raíz? a) $\sqrt{30}$; b) $\sqrt{75}$; c) $\sqrt{140}$.

Avanzados

4. Calcula y compara: a) $\sqrt{36 + 64}$ y $\sqrt{36} + \sqrt{64}$; b) $\sqrt{25 \cdot 4}$ y $\sqrt{25} \cdot \sqrt{4}$. ¿Qué observas?
5. Un huerto cuadrado tiene 200 m² de superficie. ¿Cuánto mide su lado? Redondea a los centímetros.
6. Un triángulo tiene lados de 5 cm, 12 cm y 13 cm, y un ángulo recto. ¿Cuál es la hipotenusa? ¿Por qué no puede ser el lado de 5 cm?

Reto

7. Sin calculadora, ordena de menor a mayor: $\sqrt{50}$, $7{,}2$, $\sqrt{48}$, $6{,}9$.
8. Encuentra con la calculadora $\sqrt{2}$ con dos decimales. Comprueba elevando al cuadrado que $1{,}41$ se queda corto y $1{,}42$ se pasa.

Soluciones

1. La hipotenusa es $\overline{AB}$, el lado opuesto a $C$. Los catetos son $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$.
2. a) 9. b) 13. c) 20. d) 1,2.
3. a) $25 < 30 < 36$: entre 5 y 6. b) $64 < 75 < 81$: entre 8 y 9. c) $121 < 140 < 144$: entre 11 y 12.
4. a) $\sqrt{100} = 10$, pero $6 + 8 = 14$: son distintos. b) $\sqrt{100} = 10$ y $5 \cdot 2 = 10$: son iguales. La raíz de un producto es el producto de las raíces, pero con la suma no ocurre.
5. $\sqrt{200} \approx 14{,}14$ m.
6. La hipotenusa es el lado de 13 cm, porque es el más largo. El lado de 5 cm no puede ser la hipotenusa porque la hipotenusa es siempre el lado mayor.
7. $\sqrt{48} \approx 6{,}93$ y $\sqrt{50} \approx 7{,}07$. Sin calculadora: $6{,}9^2 = 47{,}61 < 48$, así que $6{,}9 < \sqrt{48}$; $7{,}2^2 = 51{,}84 > 50$, así que $\sqrt{50} < 7{,}2$. Orden: $6{,}9 < \sqrt{48} < \sqrt{50} < 7{,}2$.
8. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$. $1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2$ y $1{,}42^2 = 2{,}0164 > 2$.