Razones y proporciones: precio unitario y escalas

Introducción

Para preparar limonada, Daniel mezcla 2 vasos de zumo de limón con 6 vasos de agua. Su hermana Elena mezcla 3 vasos de zumo con 9 de agua. ¿Cuál de las dos limonadas sabe más a limón?

No basta con comparar las cantidades de zumo (3 es más que 2). Hay que comparar la relación entre zumo y agua. Esa relación se llama razón.

Explicación

Razón

Una razón entre dos cantidades $a$ y $b$ es el cociente $\frac{a}{b}$. Se lee "$a$ es a $b$" y también se escribe $a : b$.

En la limonada de Daniel, la razón entre zumo y agua es $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$: por cada vaso de zumo hay 3 de agua.

Una razón parece una fracción, pero hay una diferencia: en una razón los dos números pueden medir cosas distintas (kilómetros y horas, euros y kilos) y no tienen que ser partes de un mismo todo.

Ejemplos de razones en la vida diaria:

• Precio por kilo: 6,30 € por 3 kg de naranjas es una razón de $\frac{6{,}30}{3} = 2{,}10$ € por kilo.
• Velocidad: 240 km en 3 horas son $\frac{240}{3} = 80$ km por hora.
• Escala de un mapa: $1 : 50\,000$ significa que 1 cm del mapa son 50 000 cm (500 m) en la realidad.

Proporción

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Se lee "$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$". Los números $a$ y $d$ se llaman extremos y $b$ y $c$, medios.

Propiedad fundamental: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios:

$a \cdot d = b \cdot c$

Cuarto proporcional

Si conoces tres de los cuatro números de una proporción, puedes calcular el que falta con la propiedad fundamental. Ese número se llama cuarto proporcional.

$\frac{3}{5} = \frac{x}{20} \quad\Longrightarrow\quad 5 \cdot x = 3 \cdot 20 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{60}{5} = 12$

Ejemplos

Ejemplo 1: la limonada. Daniel: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Elena: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Las dos razones son iguales, así que las limonadas saben igual. Forman una proporción: $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$, y se comprueba que $2 \cdot 9 = 18 = 6 \cdot 3$.

Ejemplo 2: ¿forman proporción? $\frac{4}{7}$ y $\frac{12}{20}$: $4 \cdot 20 = 80$ y $7 \cdot 12 = 84$. No forman proporción.

Ejemplo 3: la oferta. En una frutería de Valencia, un paquete de 4 yogures cuesta 2,20 € y otro de 6 yogures cuesta 3,12 €. ¿Cuál sale más barato por unidad?

Paquete de 4: $2{,}20 : 4 = 0{,}55$ € por yogur. Paquete de 6: $3{,}12 : 6 = 0{,}52$ € por yogur. El de 6 es más barato por unidad.

Ejemplo 4: el mapa. En un mapa a escala $1 : 200\,000$, la distancia entre dos pueblos de La Rioja es de 7,5 cm. ¿Cuál es la distancia real?

$7{,}5 \cdot 200\,000 = 1\,500\,000$ cm $= 15\,000$ m $= 15$ km.

Recuerda

Una razón compara dos cantidades mediante un cociente. Una proporción es una igualdad de dos razones. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, y así se calcula el término que falta.

Ejercicios

Básicos

1. Escribe la razón y simplifícala: a) 15 chicas y 12 chicos en una clase; b) 450 km en 5 horas; c) 18 € por 4 kg.
2. ¿Forman proporción? a) $\frac{5}{8}$ y $\frac{15}{24}$; b) $\frac{6}{9}$ y $\frac{8}{11}$.
3. Calcula el término desconocido: a) $\frac{x}{6} = \frac{10}{15}$; b) $\frac{4}{x} = \frac{6}{9}$; c) $\frac{7}{2} = \frac{21}{x}$.

Avanzados

4. Un paquete de café de 250 g cuesta 3,25 € y otro de 1 kg cuesta 11,60 €. ¿Cuál tiene mejor precio por kilo? ¿Cuánto se ahorra por kilo con el más barato?
5. En un plano de una vivienda a escala $1 : 50$, el salón mide 9 cm de largo. ¿Cuánto mide en la realidad?
6. Para pintar una pared se mezclan 3 botes de pintura blanca con 2 de azul. ¿Cuántos botes de azul hacen falta para 12 de blanca si se quiere el mismo color?

Reto

7. Dos números están en la razón $3 : 5$ y suman 64. ¿Cuáles son?
8. En un mapa, 4 cm corresponden a 10 km. ¿Cuál es la escala del mapa?

Soluciones

1. a) $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$: hay 5 chicas por cada 4 chicos. b) $\frac{450}{5} = 90$ km por hora. c) $\frac{18}{4} = 4{,}50$ € por kilo.
2. a) $5 \cdot 24 = 120 = 8 \cdot 15$: sí. b) $6 \cdot 11 = 66$ y $9 \cdot 8 = 72$: no.
3. a) $15x = 60$, $x = 4$. b) $6x = 36$, $x = 6$. c) $7x = 42$, $x = 6$.
4. Paquete pequeño: $3{,}25 \cdot 4 = 13{,}00$ € por kilo. Paquete de 1 kg: 11,60 € por kilo. Mejor precio el de 1 kg; se ahorra $13{,}00 - 11{,}60 = 1{,}40$ € por kilo.
5. $9 \cdot 50 = 450$ cm $= 4{,}5$ m.
6. $\frac{3}{2} = \frac{12}{x}$, $3x = 24$, $x = 8$ botes de azul.
7. Los números son $3k$ y $5k$, con $8k = 64$, $k = 8$. Son 24 y 40. Comprobación: $\frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.
8. 10 km $= 1\,000\,000$ cm. 4 cm del mapa son 1 000 000 cm reales, así que 1 cm son 250 000 cm. Escala $1 : 250\,000$.