Calcular porcentajes: parte, porcentaje y total

Introducción

En las noticias dicen: "El 38 % de los jóvenes va al instituto andando". En la etiqueta de un zumo pone "100 % fruta". En el móvil, la batería marca el 15 %. Los porcentajes aparecen en todas partes porque permiten comparar cantidades con una base común: 100.

Explicación

Qué es un porcentaje

Un porcentaje (o tanto por ciento) es una razón con denominador 100:

$p\,\% = \frac{p}{100}$

El 38 % significa "38 de cada 100". Por eso un porcentaje se puede escribir como fracción o como decimal:

$38\,\% = \frac{38}{100} = 0{,}38 \qquad 25\,\% = \frac{1}{4} = 0{,}25 \qquad 5\,\% = 0{,}05$

Algunos porcentajes conviene saberlos de memoria: $50\,\% = \frac{1}{2}$, $25\,\% = \frac{1}{4}$, $75\,\% = \frac{3}{4}$, $10\,\% = \frac{1}{10}$, $20\,\% = \frac{1}{5}$.

Los tres problemas de porcentajes

Todos los problemas de porcentajes relacionan tres datos: el total $T$, el porcentaje $p$ y la parte $P$:

$P = T \cdot \frac{p}{100}$

Te piden	Cálculo	Ejemplo
La parte	$P = T \cdot \frac{p}{100}$	15 % de 240 = $240 \cdot 0{,}15 = 36$
El porcentaje	$p = \frac{P}{T} \cdot 100$	36 de 240: $\frac{36}{240} \cdot 100 = 15\,\%$
El total	$T = P : \frac{p}{100}$	36 es el 15 %: $36 : 0{,}15 = 240$

También puedes resolverlos con una regla de tres directa: el total corresponde al 100 %.

Porcentajes mayores que 100 y menores que 1

• Más del 100 % significa más que el total. Si este año hay 130 alumnos en el club de ajedrez y el año pasado 100, este año hay el 130 % de los del año pasado.
• Menos del 1 % es menos de 1 de cada 100. El 0,5 % de 2000 es $2000 \cdot 0{,}005 = 10$. Se usa mucho en estadísticas y en intereses bancarios.

Ejemplos

Ejemplo 1: la parte. En un instituto de Valladolid hay 850 alumnos. El 38 % va andando. ¿Cuántos son?

$850 \cdot 0{,}38 = 323$ alumnos.

Ejemplo 2: el porcentaje. En un examen de 40 preguntas, Ainhoa acierta 34. ¿Qué porcentaje ha acertado?

$\frac{34}{40} \cdot 100 = 0{,}85 \cdot 100 = 85\,\%$.

Ejemplo 3: el total. Martín ha pagado ya 180 € de un viaje, que son el 60 % del precio. ¿Cuánto cuesta el viaje?

$180 : 0{,}60 = 300$ €. Con regla de tres: si 60 % son 180 €, 1 % son 3 € y 100 % son 300 €.

Ejemplo 4: comparar con porcentajes. En 1.º A aprueban 21 de 25 alumnos y en 1.º B, 24 de 30. ¿Qué grupo tiene mejores resultados?

1.º A: $\frac{21}{25} = 0{,}84 = 84\,\%$. 1.º B: $\frac{24}{30} = 0{,}8 = 80\,\%$. 1.º A tiene un porcentaje de aprobados mayor, aunque aprueben menos alumnos.

Recuerda

Un porcentaje es una razón sobre 100: $p\,\% = \frac{p}{100}$. La parte es el total por el porcentaje en forma decimal. Para hallar el porcentaje, divide la parte entre el total y multiplica por 100. Para hallar el total, divide la parte entre el porcentaje en forma decimal.

Ejercicios

Básicos

1. Escribe como fracción irreducible y como decimal: a) 40 %; b) 12 %; c) 150 %; d) 0,8 %.
2. Calcula: a) el 20 % de 75; b) el 65 % de 320; c) el 3 % de 1500.
3. ¿Qué porcentaje es? a) 18 de 72; b) 45 de 60; c) 7 de 350.

Avanzados

4. En unas elecciones al consejo escolar votan 420 de los 600 alumnos del centro. ¿Qué porcentaje ha participado? ¿Qué porcentaje no ha votado?
5. La batería de un móvil tiene 4500 mAh. Marca el 12 %. ¿Cuántos mAh le quedan?
6. En una encuesta, 54 personas dicen que van en bici al trabajo, y son el 18 % de los encuestados. ¿Cuántas personas respondieron la encuesta?

Reto

7. Una ciudad tenía 80 000 habitantes y ahora tiene el 115 % de esa población. ¿Cuántos habitantes tiene? ¿Cuántos ha ganado?
8. ¿Es lo mismo el 20 % del 50 % de una cantidad que el 50 % del 20 %? ¿Y que el 10 %? Compruébalo con 400 y explica por qué.

Soluciones

1. a) $\frac{2}{5} = 0{,}4$. b) $\frac{3}{25} = 0{,}12$. c) $\frac{3}{2} = 1{,}5$. d) $\frac{1}{125} = 0{,}008$.
2. a) $75 \cdot 0{,}2 = 15$. b) $320 \cdot 0{,}65 = 208$. c) $1500 \cdot 0{,}03 = 45$.
3. a) $\frac{18}{72} = 0{,}25 = 25\,\%$. b) $\frac{45}{60} = 0{,}75 = 75\,\%$. c) $\frac{7}{350} = 0{,}02 = 2\,\%$.
4. $\frac{420}{600} = 0{,}7 = 70\,\%$ ha votado. No ha votado el 30 %.
5. $4500 \cdot 0{,}12 = 540$ mAh.
6. $54 : 0{,}18 = 300$ personas.
7. $80\,000 \cdot 1{,}15 = 92\,000$ habitantes. Ha ganado 12 000.
8. 20 % del 50 % de 400: el 50 % es 200 y el 20 % de 200 es 40. 50 % del 20 % de 400: el 20 % es 80 y el 50 % de 80 es 40. Las dos dan lo mismo, y también el 10 % de 400 es 40. Es lo mismo porque se multiplican los decimales: $0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}1$.