Proporcionalidad inversa y regla de tres inversa

Introducción

Para pintar el gimnasio del instituto, 4 pintores tardan 6 días. Si contratan a 8 pintores que trabajan al mismo ritmo, ¿tardarán 12 días? Claramente no: con el doble de pintores se tarda menos, la mitad, 3 días. Aquí las magnitudes no se comportan como en la lección anterior.

Explicación

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese mismo número.

En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada par de valores es siempre el mismo. Ese número es la constante de proporcionalidad inversa:

Pintores	2	4	6	8	12
Días	12	6	4	3	2

$2 \cdot 12 = 4 \cdot 6 = 6 \cdot 4 = 8 \cdot 3 = 12 \cdot 2 = 24$

El 24 tiene un sentido: son los "días de trabajo de un pintor" que necesita el gimnasio. Si dibujas los puntos en unos ejes, no forman una recta sino una curva que baja cada vez más despacio (una hipérbola).

Cuidado: que una magnitud baje cuando la otra sube no basta. Comprueba siempre que los productos sean iguales.

Reducción a la unidad

1. Calcula lo que corresponde a una unidad (ahora multiplicando: 1 pintor tarda $4 \cdot 6 = 24$ días).
2. Divide entre la cantidad que te piden (5 pintores tardan $24 : 5 = 4{,}8$ días).

Regla de tres simple inversa

Se colocan los datos como en la regla de tres directa, pero la proporción se escribe con una de las razones invertida:

$\begin{array}{ccc} 4 \text{ pintores} & \longrightarrow & 6 \text{ días} \\ 5 \text{ pintores} & \longrightarrow & x \end{array} \qquad \frac{4}{5} = \frac{x}{6} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4 \cdot 6}{5} = 4{,}8 \text{ días}$

Una forma de no equivocarse: antes de calcular, pregúntate si la respuesta debe ser mayor o menor que el dato. Con más pintores, menos días.

Ejemplos

Ejemplo 1: velocidad y tiempo. Un autobús de Burgos a Bilbao tarda 2 horas a 80 km/h de media. ¿Cuánto tardaría a 100 km/h?

Distancia: $80 \cdot 2 = 160$ km (es el producto constante). Tiempo: $160 : 100 = 1{,}6$ h $= 1$ h 36 min.

Ejemplo 2: el viaje de fin de curso. El alquiler de un autobús para la excursión cuesta 900 €. Si van 30 alumnos, cada uno paga 30 €. ¿Cuánto paga cada uno si van 36?

Número de alumnos y precio por alumno son inversamente proporcionales (producto 900). $900 : 36 = 25$ €.

Ejemplo 3: ¿directa, inversa o ninguna?

• Número de grifos iguales abiertos y tiempo de llenado de una piscina: inversa.
• Número de bocadillos y precio total: directa.
• Edad de una persona y su peso: ninguna, no hay constante.

Ejemplo 4: pienso para animales. Una protectora tiene pienso para alimentar a 15 perros durante 20 días. Llegan 5 perros más. ¿Para cuántos días hay pienso ahora?

$15 \cdot 20 = 300$ raciones diarias en total. Con 20 perros: $300 : 20 = 15$ días.

Recuerda

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si su producto es constante: al doble de una le corresponde la mitad de la otra. En la regla de tres inversa, se invierte una de las razones. Antes de calcular, decide si el resultado debe aumentar o disminuir.

Ejercicios

Básicos

1. Completa la tabla de proporcionalidad inversa: velocidad (km/h) 60, 90, 120, 40; tiempo (h) 3, ?, ?, ?.
2. 6 grifos iguales llenan un depósito en 10 horas. ¿Cuánto tardan 4 grifos?
3. Decide si son magnitudes directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos: a) número de obreros y tiempo para levantar un muro; b) kilos de patatas y precio; c) altura de una persona y su número de pie.

Avanzados

4. Un premio se reparte a partes iguales. Si fueran 8 ganadores, cada uno recibiría 450 €. ¿Cuánto recibe cada uno si son 12?
5. Para embaldosar el patio se necesitan 600 baldosas de 20 cm × 20 cm. ¿Cuántas baldosas de 40 cm × 40 cm harían falta? ¿Por qué no es la mitad?
6. Un tren de cercanías recorre un trayecto en 45 minutos a una velocidad media de 60 km/h. Tras una mejora de la vía, la velocidad media sube a 75 km/h. ¿Cuántos minutos se ahorran?

Reto

7. Un grupo de 12 amigos alquila una casa rural en Cantabria y cada uno paga 75 €. A última hora se apuntan 3 más. ¿Cuánto paga ahora cada uno? ¿Cuánto ahorra cada uno de los 12 primeros?
8. Rocío dice: "Si 3 personas pelan 30 patatas en 10 minutos, 6 personas pelan 30 patatas en 20 minutos, porque es una regla de tres". Explica su error y da la respuesta correcta.

Soluciones

1. Producto constante: $60 \cdot 3 = 180$. 90 km/h: 2 h. 120 km/h: 1,5 h. 40 km/h: 4,5 h.
2. $6 \cdot 10 = 60$. $60 : 4 = 15$ horas.
3. a) Inversa (si trabajan al mismo ritmo). b) Directa. c) Ninguna.
4. Premio: $8 \cdot 450 = 3600$ €. Con 12: $3600 : 12 = 300$ €.
5. Cada baldosa grande ocupa $40 \cdot 40 = 1600$ cm², cuatro veces más que una pequeña ($400$ cm²). Hacen falta $600 : 4 = 150$ baldosas. No es la mitad porque, al doblar el lado, el área se multiplica por 4: la magnitud inversamente proporcional al número de baldosas es el área, no el lado.
6. Distancia: $60 \cdot 0{,}75 = 45$ km. Nuevo tiempo: $45 : 75 = 0{,}6$ h $= 36$ min. Se ahorran $45 - 36 = 9$ minutos.
7. Total: $12 \cdot 75 = 900$ €. Con 15: $900 : 15 = 60$ €. Cada uno de los 12 primeros ahorra 15 €.
8. Rocío ha usado una regla de tres directa, pero más personas tardan menos: es inversa. 6 personas tardan $\frac{3 \cdot 10}{6} = 5$ minutos.