Aumentos y disminuciones porcentuales: descuentos e IVA

Introducción

En las rebajas de enero, unas zapatillas que costaban 80 € tienen un cartel de "−25 %". En la factura de un taller pone "Base imponible: 200 €. IVA 21 %". Y en el periódico leemos que el alquiler ha subido un 10 % y luego ha bajado un 10 %. ¿Ha vuelto al precio inicial?

Para responder rápido y sin errores a estas preguntas se usa el índice de variación.

Explicación

Aumentos porcentuales

Si una cantidad $C$ aumenta un $p\,\%$, la cantidad final es el $(100 + p)\,\%$ de la inicial:

$C_{\text{final}} = C \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

El número $1 + \frac{p}{100}$ es el índice de variación. Para una subida del 21 % el índice es 1,21.

Disminuciones porcentuales

Si una cantidad disminuye un $p\,\%$, queda el $(100 - p)\,\%$:

$C_{\text{final}} = C \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Para un descuento del 25 % el índice es 0,75: pagas el 75 % del precio.

El IVA

El impuesto sobre el valor añadido (IVA) se suma al precio de muchos productos y servicios. En España hay tres tipos: el general del 21 %, el reducido del 10 % (por ejemplo, hostelería y transporte de viajeros) y el superreducido del 4 % (por ejemplo, pan, leche y libros). Los tipos los fija la ley y pueden cambiar.

• Precio con IVA: precio sin IVA $\cdot 1{,}21$.
• Precio sin IVA: precio con IVA $: 1{,}21$. No se resta el 21 % del precio final, porque el 21 % se calculó sobre otra cantidad.

Variaciones encadenadas

Si una cantidad sufre varias variaciones seguidas, se multiplican los índices:

$C_{\text{final}} = C \cdot I_1 \cdot I_2$

Una subida del 10 % y una bajada del 10 % dan $1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99$: el precio final es el 99 % del inicial, un 1 % menos.

Ejemplos

Ejemplo 1: rebajas. Zapatillas de 80 € con un 25 % de descuento: $80 \cdot 0{,}75 = 60$ €.

Ejemplo 2: factura del taller. Base imponible 200 €, IVA 21 %: $200 \cdot 1{,}21 = 242$ €. El IVA son $242 - 200 = 42$ €.

Ejemplo 3: del precio final al precio sin IVA. Un ordenador cuesta 605 € con IVA (21 %). ¿Cuál es su precio sin IVA?

$605 : 1{,}21 = 500$ €. Comprobación: $500 \cdot 1{,}21 = 605$ €. Si hubieras restado el 21 % de 605 € obtendrías $605 \cdot 0{,}79 = 477{,}95$ €, que es incorrecto.

Ejemplo 4: hallar el porcentaje de descuento. Un abono de transporte pasa de 54,60 € a 40,95 €. ¿Qué descuento se ha aplicado?

Índice: $40{,}95 : 54{,}60 = 0{,}75$. Se paga el 75 %, así que el descuento es del 25 %.

Ejemplo 5: encadenadas. Una consola de 400 € sube un 15 % y en las rebajas baja un 20 %. Índice total: $1{,}15 \cdot 0{,}80 = 0{,}92$. Precio final: $400 \cdot 0{,}92 = 368$ €, un 8 % menos que al principio.

Errores típicos

Error	Por qué está mal	Correcto
Subir un 10 % y bajar un 10 % "deja igual"	El 10 % de bajada se calcula sobre una cantidad mayor	$1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99$
Quitar el IVA restando el 21 % del precio final	El 21 % es del precio sin IVA	Dividir entre 1,21
Sumar porcentajes encadenados ($+20\,\%$ y $+30\,\%$ = $+50\,\%$)	Cada porcentaje se aplica sobre otra cantidad	$1{,}2 \cdot 1{,}3 = 1{,}56$, un 56 %
Confundir el descuento con lo que se paga	Un 30 % de descuento significa pagar el 70 %	Índice 0,70

Recuerda

Aumento del $p\,\%$: multiplica por $1 + \frac{p}{100}$. Disminución del $p\,\%$: multiplica por $1 - \frac{p}{100}$. Varias variaciones seguidas: multiplica los índices. Para quitar el IVA, divide entre el índice, no restes el porcentaje.

Ejercicios

Básicos

1. Escribe el índice de variación: a) subida del 8 %; b) descuento del 35 %; c) IVA del 10 %; d) bajada del 2,5 %.
2. Un abrigo cuesta 120 € y tiene un 30 % de descuento. ¿Cuánto se paga?
3. Una reparación cuesta 150 € sin IVA. ¿Cuánto se paga con el IVA del 21 %?

Avanzados

4. Una cena en un restaurante cuesta 49,50 € con IVA del 10 % incluido. ¿Cuál es el precio sin IVA? ¿Cuánto es el IVA?
5. Un billete de Renfe de Barcelona a Madrid costaba 72 € y ahora cuesta 54 €. ¿Qué porcentaje de descuento se ha aplicado?
6. Una tienda sube los precios un 20 % y después anuncia "un 20 % de descuento". ¿Vuelven los precios a ser los de antes? Calcula con un producto de 50 €.

Reto

7. El alquiler de un piso en Málaga sube un 5 % el primer año, un 4 % el segundo y baja un 3 % el tercero. Si al principio costaba 900 €, ¿cuánto cuesta al final? ¿Qué porcentaje ha subido en total? Redondea a las centésimas.
8. Un comercio rebaja un televisor un 20 % y vende el televisor rebajado a 532,40 € con IVA del 21 % incluido. ¿Cuál era el precio sin rebaja y sin IVA?

Soluciones

1. a) 1,08. b) 0,65. c) 1,10. d) 0,975.
2. $120 \cdot 0{,}70 = 84$ €.
3. $150 \cdot 1{,}21 = 181{,}50$ €.
4. Sin IVA: $49{,}50 : 1{,}10 = 45$ €. IVA: $49{,}50 - 45 = 4{,}50$ €.
5. $54 : 72 = 0{,}75$. Se paga el 75 %, el descuento es del 25 %.
6. $50 \cdot 1{,}20 = 60$ €; $60 \cdot 0{,}80 = 48$ €. No vuelven: el índice total es $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, un 4 % menos que al principio.
7. Índice total: $1{,}05 \cdot 1{,}04 \cdot 0{,}97 = 1{,}05924$. Alquiler final: $900 \cdot 1{,}05924 = 953{,}316 \approx 953{,}32$ €. Ha subido un 5,92 % aproximadamente.
8. Índice total: $0{,}80 \cdot 1{,}21 = 0{,}968$. Precio inicial sin IVA: $532{,}40 : 0{,}968 = 550$ €. Comprobación: $550 \cdot 0{,}80 = 440$ € rebajado, $440 \cdot 1{,}21 = 532{,}40$ € con IVA.