Proporcionalidad directa: reducción a la unidad y regla de tres

Introducción

En la estación de servicio, el gasóleo cuesta 1,45 € por litro. Si echas 10 litros, pagas 14,50 €. Si echas 20 litros, pagas el doble; si echas la mitad, pagas la mitad. Cuando dos magnitudes se comportan así, decimos que son directamente proporcionales.

Explicación

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Lo mismo ocurre al dividir.

En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente entre cada par de valores es siempre el mismo. Ese número es la constante de proporcionalidad $k$:

Litros	5	10	20	30
Precio (€)	7,25	14,50	29,00	43,50

$k = \frac{7{,}25}{5} = \frac{14{,}50}{10} = \frac{29}{20} = 1{,}45 \text{ € por litro}$

Si dibujas los puntos de la tabla en unos ejes, quedan sobre una recta que pasa por el origen.

Cuidado: que una magnitud crezca cuando crece la otra no basta. La edad y la altura crecen juntas, pero a doble edad no corresponde doble altura. Comprueba siempre que los cocientes sean iguales.

Método 1: reducción a la unidad

1. Calcula cuánto corresponde a una unidad (dividiendo).
2. Multiplica por la cantidad que te piden.

Método 2: regla de tres simple directa

Se colocan los datos en dos filas y se plantea una proporción:

$\begin{array}{ccc} 5 \text{ L} & \longrightarrow & 7{,}25 \text{ €} \\ 18 \text{ L} & \longrightarrow & x \end{array} \qquad \frac{5}{18} = \frac{7{,}25}{x} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{18 \cdot 7{,}25}{5} = 26{,}10 \text{ €}$

Los dos métodos dan lo mismo. La reducción a la unidad se entiende mejor; la regla de tres es más rápida cuando ya la dominas.

Repartos directamente proporcionales

Repartir una cantidad de forma directamente proporcional a unos números significa que a quien le corresponde el doble, recibe el doble. Se suman los números, se divide la cantidad entre esa suma y se multiplica por el número de cada parte.

Ejemplos

Ejemplo 1: reducción a la unidad. 6 cuadernos cuestan 9,60 €. ¿Cuánto cuestan 15 cuadernos?

Un cuaderno: $9{,}60 : 6 = 1{,}60$ €. 15 cuadernos: $15 \cdot 1{,}60 = 24$ €.

Ejemplo 2: regla de tres. Un AVE recorre 315 km en 1 hora y 30 minutos a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorre en 40 minutos?

1 h 30 min $= 90$ min. $\frac{90}{40} = \frac{315}{x}$, así que $x = \frac{40 \cdot 315}{90} = 140$ km.

Ejemplo 3: ¿es proporcional? Un taxi en Madrid cobra 2,50 € de bajada de bandera y 1,30 € por kilómetro. ¿Es el precio proporcional a los kilómetros?

5 km: $2{,}50 + 6{,}50 = 9{,}00$ €. 10 km: $2{,}50 + 13{,}00 = 15{,}50$ €. A doble distancia no corresponde doble precio ($2 \cdot 9 = 18 \neq 15{,}50$). No es proporcional, por la cantidad fija inicial. (Las tarifas son un ejemplo inventado.)

Ejemplo 4: reparto. Tres amigas ponen 10 €, 15 € y 25 € para comprar lotería de Navidad juntas y ganan 400 €. Lo reparten de forma proporcional a lo que puso cada una.

Total aportado: $10 + 15 + 25 = 50$ €. Por cada euro aportado: $400 : 50 = 8$ €. Reciben $80$ €, $120$ € y $200$ €.

Recuerda

Dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente es constante. Para calcular valores, reduce a la unidad o usa una regla de tres directa. Si hay una cantidad fija que se suma, la relación no es proporcional.

Ejercicios

Básicos

1. Completa la tabla de proporcionalidad directa y da la constante: kilos de manzanas 2, 3, 5, 8; precio 3,80 €, ?, ?, ?.
2. 4 entradas de cine cuestan 30 €. ¿Cuánto cuestan 7 entradas?
3. Una impresora imprime 120 páginas en 5 minutos. ¿Cuántas imprime en 12 minutos?

Avanzados

4. ¿Son directamente proporcionales? Justifica. a) El número de lados de un polígono regular y su perímetro, si el lado mide 3 cm. b) El lado de un cuadrado y su área.
5. Un coche gasta 5,4 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos litros gasta en el viaje de Granada a Málaga, de 128 km? Redondea a las décimas.
6. Un abuelo reparte 1350 € entre sus tres nietos de forma directamente proporcional a sus edades: 8, 12 y 16 años. ¿Cuánto recibe cada uno?

Reto

7. En una receta, 250 g de arroz son para 3 personas. Juan quiere cocinar para 8 personas, pero solo tiene un paquete de 500 g. ¿Le alcanza? ¿Para cuántas personas, como máximo, tiene arroz?
8. Inventa una situación de tu vida diaria en la que dos magnitudes crezcan a la vez pero no sean proporcionales. Explica por qué.

Soluciones

1. $k = 3{,}80 : 2 = 1{,}90$ € por kilo. 3 kg: 5,70 €. 5 kg: 9,50 €. 8 kg: 15,20 €.
2. Una entrada: $30 : 4 = 7{,}50$ €. Siete: $52{,}50$ €.
3. $\frac{5}{12} = \frac{120}{x}$, $x = \frac{12 \cdot 120}{5} = 288$ páginas.
4. a) Sí: perímetro $= 3 \cdot n$, el cociente es siempre 3. b) No: lado 1 da área 1, lado 2 da área 4. A doble lado, cuádruple área.
5. $\frac{100}{128} = \frac{5{,}4}{x}$, $x = \frac{128 \cdot 5{,}4}{100} = 6{,}912 \approx 6{,}9$ litros.
6. Suma de edades: 36. Por año: $1350 : 36 = 37{,}50$ €. Reciben $8 \cdot 37{,}50 = 300$ €, $12 \cdot 37{,}50 = 450$ € y $16 \cdot 37{,}50 = 600$ €. Comprobación: $300 + 450 + 600 = 1350$.
7. Para 8 personas: $\frac{250}{3} \cdot 8 \approx 666{,}7$ g. No le alcanza. Con 500 g: $500 : \frac{250}{3} = 6$ personas.
8. Respuesta abierta. Ejemplo: la factura del móvil con una cuota fija más un precio por gigabyte. Al usar más datos se paga más, pero no el doble por el doble de datos, porque la cuota fija no cambia.